12. Binomialfordelingen
Et Bernoulli-forsøg er et forsøg med kun 2 mulige udfald, succes og fiasko. Det kan fx. være at få krone i et kast (forsøget) med en krone. Vi siger at sandsynligheden for succes er p (altså 0,5 hvis mønten er fair), sandsynligheden for fiasko kan beregnes som 1-p=1-0,5=0,5.
Denne succes/fiasko-struktur går igen i mange klassifikationsmodeller inden for kreditvurdering, hvor succes og fiasko svarer til, at en låntager betaler eller misligholder sit lån – ofte som grundlag for mere avanceret, AI-drevet kreditscoring.
BinomialfordelingenBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver
sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en
terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en
sandsynlighedsparameter her p=1⁄6 og en
antalsparameter her n=30.
Klik her
for at lære mere om binomialfordelingen! er en diskret (heltallig) fordeling, der beskriver sandsynligheden for x succeser, ved
n identiske Bernoulli-forsøg. Sandsynlighedsfordelingen for krone ved ti kast, med en fair mønt, er således 10
uafhængige forsøg med samme sandsynlighedsparameter p = 0,5 antalsparameteren n er 10, hvilket er det samlede antal
enkelt forsøg. For at en stokastisk variabel X er binomialfordelt, skal følgende 3 forudsætninger være
opfyldt:
- Den stokastiske variabel betegner antallet af succeser i n forsøg, som hver især kan antage to værdier kaldet succes og fiasko.
- De n forsøg er uafhængige, har man fx. 4 succeser er successandsynligheden ikke ændret i næste forsøg.
- Sandsynlighedsparameteren er konstant p for samtlige forsøg, dvs. successandsynligheden ændrer sig ikke.
Vi siger den stokastiske variabel er binomialfordelt, med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p,
notationen for dette er:
$$X∼b(n,p)$$
Vi kan for $X∼b(n,p)$ beregne punktsandsynligheder ved formlen:
$$P(X=x)=\binom{n}{x} p^{x}(1-p)^{n-x}$$
Hvor $\binom{n}{x}$ er binomialkoefficienten denne kan udregnes som:
$$\binom{n}{x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}=\frac{n⋅(n-1)⋅...⋅1}{x⋅(x-1)⋅...⋅1⋅(n-x)⋅(n-x-1)⋅...⋅1}$$
Punktsandsynligheden for i 4 kast at få netop fx. 1 krone. kan udregnes som antal mulige udfald hvor man netop har
1
krone gange sandsynligheden for netop at få en krone.
De mulige udfald hvor antallet af succeser dvs. krone er en, bliver:
1. {krone, plat, plat, plat}
2. {plat, krone, plat, plat}
3. {plat, plat, krone, plat}
4. {plat, plat, plat, krone}
Vi kan netop udregne dette antal mulige udfald ved binomialkoefficienten som:
Figur 12.1: Sandsynlighedsfordelingen for bin(n=4, p=0,5). Punktsandsynligheden for netop 1 succes er 0,25, som beregnet ovenfor. Hold musen over en søjle for punktsandsynlighed.
Kilde: Egen tilvirkning.
I Figur 12.1 er sandsynlighedsfordelingen for binomialfordelingenBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver
sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en
terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en
sandsynlighedsparameter her p=1⁄6 og en
antalsparameter her n=30.
Klik her
for at lære mere om binomialfordelingen! med antalsparameter 4 og sandsynlighedsparameter 0,5
illustreret. Bemærk at punktsandsynligheden for 1 krone netop er 0,25.
Figur 12.2: Sandsynlighedsfordelingen for bin(n=8, p=0,5) — symmetrisk, fordi sandsynlighedsparameteren p er lig 0,5.
Kilde: Egen tilvirkning.
Figur 12.2 viser binomialfordelingenBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver
sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en
terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en
sandsynlighedsparameter her p=1⁄6 og en
antalsparameter her n=30.
Klik her
for at lære mere om binomialfordelingen! med antalsparameter n=8 og sandsynlighedsparameter p=0,5. Fordelingen er
symmetrisk, fordi p er lig 0,5.
Figur 12.3: Sandsynlighedsfordelingen for bin(n=8, p=0,9) — venstreskæv, da sandsynlighedsparameteren p er større end 0,5.
Kilde: Egen tilvirkning.
I Figur 12.3 ses binomialfordelingenBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver
sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en
terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en
sandsynlighedsparameter her p=1⁄6 og en
antalsparameter her n=30.
Klik her
for at lære mere om binomialfordelingen! med antalsparameter n=8 og sandsynlighedsparameter p=0,9. Bemærk at
fordelingen bliver venstreskæv, hvis p er større end 0,5, og symmetrisk, hvis p er lig 0,5 (som i Figur 12.2).
Figur 12.4: Sandsynlighedsfordelingen for bin(n=8, p=0,1) — højreskæv, da sandsynlighedsparameteren p er mindre end 0,5.
Kilde: Egen tilvirkning.
I Figur 12.4 ses binomialfordelingenBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver
sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en
terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en
sandsynlighedsparameter her p=1⁄6 og en
antalsparameter her n=30.
Klik her
for at lære mere om binomialfordelingen! med antalsparameter n=8 og sandsynlighedsparameter p=0,1. Denne fordeling er
højreskæv, fordi p er mindre end 0,5.
Figur 12.5: Tre binomialfordelingerBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver
sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en
terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en
sandsynlighedsparameter her p=1⁄6 og en
antalsparameter her n=30.
Klik her
for at lære mere om binomialfordelingen! med p = 0,5 og n = 10, 20 og 50. Større n gør fordelingen bredere og lavere — og mere klokkeformet (nærmer sig normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde,
stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og
standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af
og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske
variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og
standardafvigelse σ = 7,42
Klik her for at
lære mere om normalfordelingen!). Hold musen over en søjle for punktsandsynlighed.
Kilde: Egen tilvirkning.
Figur 12.5 viser tre binomialfordelingerBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver
sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en
terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en
sandsynlighedsparameter her p=1⁄6 og en
antalsparameter her n=30.
Klik her
for at lære mere om binomialfordelingen!, alle med sandsynlighedsparameter p=0,5 og antalsparameter n hhv. 10, 20
og 50. Jo større n, jo bredere og lavere bliver fordelingen — og jo mere klokkeformet den nærmer sig
normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde,
stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og
standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af
og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske
variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og
standardafvigelse σ = 7,42
Klik her for at
lære mere om normalfordelingen!.
Figur 12.6: Tre binomialfordelingerBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver
sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en
terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en
sandsynlighedsparameter her p=1⁄6 og en
antalsparameter her n=30.
Klik her
for at lære mere om binomialfordelingen! med n = 50 og p = 0,1 / 0,5 / 0,9. Sandsynlighedsparameteren p styrer skævhedenSkævheden angiver om en fordeling er venstreskæv (hale mod venstre,
skævheden er negativ), symmetrisk (skævheden er ca. 0) eller højreskæv
(hale mod højre, skævheden er positiv)
Man vil ofte ud fra fordelingen i fx. et histogram eller et boksplot,
kunne vurdere skævheden
Klik her for at
lære
mere om skævhed!: p < 0,5 giver højreskævhed, p = 0,5 symmetri, og p > 0,5 venstreskævhed.
Kilde: Egen tilvirkning.
Figur 12.6 viser tre binomialfordelingerBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver
sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en
terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en
sandsynlighedsparameter her p=1⁄6 og en
antalsparameter her n=30.
Klik her
for at lære mere om binomialfordelingen! med sandsynlighedsparametre p hhv. 0,1, 0,5 og 0,9, alle med
antalsparameter n=50. Bemærk at sandsynlighedsparameteren påvirker skævhedenSkævheden angiver om en fordeling er venstreskæv (hale mod venstre,
skævheden er negativ), symmetrisk (skævheden er ca. 0) eller højreskæv
(hale mod højre, skævheden er positiv)
Man vil ofte ud fra fordelingen i fx. et histogram eller et boksplot,
kunne vurdere skævheden
Klik her for at
lære
mere om skævhed!: p mindre end 0,5 giver højreskævhed
(som i Figur 12.4), p = 0,5 giver symmetri (som i Figur 12.2 og 12,5), og p større end 0,5 giver venstreskævhed
(som i Figur 12.3).
Vi kan for en binomialfordelt stokastisk variabel $X∼bin(n,p)$ beregne:
Middelværdien
$$E(X)=n⋅p$$
Standardafvigelsen til
$$SD(X)=\sqrt{n⋅p⋅(1-p) }$$