7. 1 Andel

Parameterestimat for andele

Har vi en kvalitativ variabel, fx. bruger du MobilePay, kan vi undersøge andelen af MobilePay-brugere. Hvis vi har spurgt 100 danskere om de bruger MobilePay, er vi ikke specifikt interesseret i hvor mange af netop disse 100 personer, der benytter MobilePay. Vi har udtaget en stikprøve En stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver! af en population (populationen er her alle danskere med en konto), som vi benytter til at udtale os om, hvor stor en andel i populationen, der kan antages at benytte MobilePay. Hvis 31 ud af 100 danskere bruger MobilePay, er vores bedste gæt på andelen i populationen der benytter MobilePay 0,31. Vi er imidlertid godt klar over, at det ville være højst besynderligt, at netop 31,000…% af alle danskere benytter MobilePay. Vi kalder $\hat{p}$ for vores estimat (vores bedste gæt) for populationsandelen $p$ den sande ukendte andel af kontohavere i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
der benytter MobilePay.

Parameterestimatet for p er $\hat{p}=\frac{31}{100}=0{,}31$

Andelsestimater bruges også i praksis til at overvåge en svindeldetektionsmodels false-positive-rate i produktion, hvor $\hat{p}$ løbende beregnes ud fra de seneste transaktioner.

Konfidensinterval for en andel

Konfidensinterval for en andel beregnes som: $$(1-\alpha)KI=\left[\hat{p}-z_{1-{\alpha\over2}}\cdot\sqrt{{\hat{p}(1-\hat{p})\over n}};\hat{p}+z_{1-{\alpha\over2}}\cdot\sqrt{{\hat{p}(1-\hat{p})\over n}}\right]$$ Ligningen ser indviklet ud (FREESTAT udregner resultatet for os). Har vi fx. et 5% signifikansniveau, kan man sige, at \(\hat{p}\) fratrækkes og tillægges 1,96 gange standardafvigelsen, for at finde nedre og øvre grænse for 95% konfidensintervallet for andelen. I ligningen er \(\alpha\) signifikansniveauet. Er signifikansniveauet fx. \( \alpha=0,05 \), bliver \(1-\alpha=0,95\) svarende til 95% konfidensniveauet. \(z\) i ligningen betyder z-fordelingen, altså standardnormalfordelingen. Hvis \( \alpha=0,05 \) beregnes 97,5% fraktilen for z-fordelingen \(1-\frac{0,05}{2} =0,975\) som jo er 1,96, hvilket ganges med estimatet for standardafvigelsen.

Vi ser igen på MobilePay-eksemplet 31 ud af 100 brugte MobilePay $\hat{p}=0{,}31$. Hvis vi skal bestemme et 95% konfidensinterval af andelen af brugere af MobilePay i populationen, kan vi vha. formlen ovenfor udregne nedre grænse som: $$\hat{p}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}⋅\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=$$ $$0{,}31-1{,}96⋅\sqrt{\frac{0{,}31(1-0{,}31)}{100}}=0{,}2194$$ På samme måde kan vi beregne vi øvre grænse vha. formlen for konfidensinterval for en andel. $$\hat{p}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}⋅\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=$$ $$0{,}31+1{,}96⋅\sqrt{\frac{0{,}31(1-0{,}31)}{100}}=0{,}4006$$ Hvis vi skal tolke hvad dette betyder med menneskeord kan vi altså sige:

Vi kan med 95% sikkerhed sige at andelen af MobilePay-brugere i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
ligger mellem 21,94% og 40,06%.

Havde vi ønsket større sikkerhed/konfidens, kunne vi opnå dette på bekostning af præcisionen. Vi kunne sætte signifikansniveauetSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! til 1% dvs. konfidensniveauetKonfidensniveauet 1-α angiver sandsynligheden for ikke at forkaste en sand nulhypotese dvs. korrekt beslutning.
Man kan bestemme konfidensniveauet som 1-α dvs. 1 minus signifikansniveauet.
Dvs. summen af signifikansniveauet og konfidensniveauet giver altid 1 eller 100%

Klik her for at lære mere om konfidensniveauet! til 99%. Vi skulle da benytte 99,5% fraktilen for z-fordelingenz-fordelingen (kaldes også standard normalfordelingen) er normalfordelingen med middelværdi μ = 0 og standardafvigelse σ = 1.
Historisk har man benyttet transformation af normalfordelinger til z-fordelingen, for derefter at bestemmme sandsynligheder ud fra tabelopslag.
Med computere er tabelopslag ikke længere nødvendige, hvorfor z-fordelingens ikke længere har samme vigtighed.

Klik her for at lære mere om z-fordelingen! denne er ca. 2,58, dette ville være den eneste ændring i udregningen af konfidensintervalletKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
.
$$\hat{p}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}⋅\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=$$ $$0{,}31-2{,}5758⋅\sqrt{\frac{0{,}31(1-0{,}31)}{100}}=0{,}1909$$ På samme måde kan vi beregne vi øvre grænse vha. formlen for konfidensinterval for en andel. $$\hat{p}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}⋅\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=$$ $$0{,}31+2{,}5758⋅\sqrt{\frac{0{,}31(1-0{,}31)}{100}}=0{,}4291$$ Tolkningen ville være:

Vi kan med 99% sikkerhed sige at andelen af MobilePay-brugere i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
ligger mellem 19,09% og 42,91%.

Vi mister altså præcision (konfidensintervalletKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
blev jo bredere), når vi får større sikkerhed (99% i stedet for 95%). Hvis man ønsker at øge sikkerheden uden at konfidensintervalletKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
bliver bredere, kan man se på formlen at vi også kan øge stikprøvestEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
ørrelsen n. StikprøvestEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
ørrelsen er jo i nævneren i formlen for konfidensintervalletKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
, så hvis vi øger n bliver faktoren mindre, og dermed bliver konfidensintervalletKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
smallere.

Fejlmargin ved andele

Hypotesetest 1 andel

Når vi tester en hypotese, undersøger vi om en egenskab ved en populationsparameterPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
(eller flere parametreEn parameter betegner en ukendt konstant i en statistisk model eller formel, ud fra en stikprøve estimeres (gættes kvalificeret på) dens værdi.
En parameter kan fx. være β, μ, p, σ etc.
Vi ønsker at udtale os om danske mænds højde, populationen er så danske mænd. Stikprøve gennemsnittet for fx. 100 mænds højde 179,34 cm. er parameter estimatet (gættet på middelværdien i populationen). Den sande ukendte parameter i populationen er altså middelhøjden i populationen μ

I AI-sammenhæng bruges ordet parametre om de tal modellen justerer under træning — som knapper på et kæmpe regneapparat. GPT-1 havde 117 millioner parametre; de største modeller anslås til billioner.
Flere parametre = modellen kan skelne mellem flere sproglige mønstre — men det koster eksponentielt mere at træne.

Klik her for at lære mere om parametre og parameter-estimater!) er opfyldt. Vi siger i udgangspunktet at nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! er sand, så der skal vægtige grunde til at vi forkaster (afviser) denne. NulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! kan fx. være:

Andelen p er lig med 50%, dette skriver vi som:
$$H_{0}:p=0{,}5$$ Bemærk en nulhypotesen indeholder altid udsagnet med lighedstegnet.
AlternativhypotesenAlternativhypotesen H₁ eller H_a er det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! er altid det modsatte udsagn, det vil altså sige:

Andelen er ikke lig med 50%
Vores alternativhypotese skrives som:

$$H_{1}:p\neq0{,}5$$ eller $$H_{a}:p\neq0{,}5$$ Husk når vi tester en hypotese, er det altid parameteren vi skriver i hypoteserne, ALDRIG parameterestimaterne. Vi ved jo præcis hvad andelen i stikprøven er, derfor ved vi præcis hvad $\hat{p}$ er, derfor giver det ingen mening at teste dette.

Hypotesetest en andel, tosidet alternativhypotese

Vi fandt i en stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
at 31 ud af 100 brugte MobilePay i Freestat test af andele taster vi:

Kan vi sige at andelen af MobilePay-brugere i populationen er 35%? For at undersøge dette opstiller vi nul- og alternativhypotesen Alternativhypotesen H₁ eller H_a er vores det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! .

$$H_0:p=0,35$$ $$H_1:p\neq0,35$$ Vi siger at alternativhypotesen Alternativhypotesen H₁ eller H_a er vores det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! er tosidet, da både stikprøve resultater, væsentlig mindre og større end 0,35, medfører at vi forkaster nulhypotesen.

Vi taler om at forkaste nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!, eller at vi ikke kan forkaste nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!. Vi skriver helst ikke vi accepterer nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!. Det ville jo strengt taget betyde vi mente p = 0,3500000...

Notationen er lidt forskellig for værdien af andelen 0,35, vi ønsker at teste, nogle bøger benævner den \(\pi\), her kalder vi den $$p_0$$Vi skriver 0 i fodtegnet, da vi mener der er tale om den sande andel i nulhypotesen.

Stikprøven er tilstrækkelig stor da $n⋅\hat{p}(1-\hat{p})=100⋅0{,}31(1-0{,}31)=21{,}39$ er større end 9. Approximationsbetingelsen er altså opfyldt.

z-teststørrelsen

Hvis vi ikke kan afvise nulhypotesen, betyder det, at den sande populationsparameter p er $p=p_{0}$. Så gælder fra CLT, at stikprøvefordelingen er normalfordelt med middelværdi $\mu=p_{0}$. Vi ved at standardfejlen for andele SE er:

$$\sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}}=\sqrt{\frac{0{,}35(1-0{,}35)}{100}}=0{,}0477$$ Vi ønsker at teste om andelen i populationen, der bruger MobilePay, kan antages at være 35%, derfor ønsker vi at måle hvor stor forskellen er mellem den observerede andel 31% og hypotese andelen $p_{0}$ som er 35%. Til dette bruger vi z-teststørrelsen. $$z-score=\frac{\hat{p}-p_{0}}{SE}=\frac{0{,}31-0{,}35}{0{,}0477}=-0{,}8386$$ Når vi bestemmer teststørrelsen ser vi på forskellen mellem $p$ og $p_{0}$. Vi skalerer teststørrelsen til standard normalfordelingen ved at dividere med standardfejlen. Her bruges z-fordelingen dvs. standardnormalfordelingen. Vi kalder teststørrelsen for z-teststørrelsen eller z-scoren. Andre tests hvor man benytter fx. t-fordelingen eller F-fordelingen, kaldes t-teststørrelsen og F-teststørrelsen.

Vi bemærker teststørrelsen er negativ, da parameterestimatet $\hat{p}=0{,}31$ er mindre end $p_{0}=0{,}35$. z-teststørrelsen er tilpasset til standardnormalfordelingen, det betyder vi kan sammenligne denne med nedre og øvre grænser for KI i z-fordelingen. Når vi tester på 5% signifikansniveau, er den nedre og øvre grænse for 95% KI i z-fordelingen -1,96 og 1,96, vi har derfor en kritiske værdier -1,96 og 1,96. Når vi tester på 1% signifikansniveau, vi har kritiske værdier -2,58 og 2,58 og på 10% signifikansniveau -1,64 og 1,64.

TeststørrelsenTeststørrelsen kan populært forklares, som forskellen mellem observeret i stikprøven og forventet under nulhypotesen.

Teststørrelsen er et udtryk for forskellen mellem fx. gennemsnit, andel eller antal i stikprøven i forhold til påstanden i nulhypotesen H₀.
Teststørrelsen korrigerer for stikprøvestørrelse og standardafvigelse, men beregnes forskelligt afhængigt af hvilket test der udføres.
Testes fx. middelværdi μ eller eller hældning i lineær regression β, benyttes t-teststørrelsen
Testes andele kan fx. z-teststørrelsen benyttes
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, 176,32-210 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM
Ønskede at teste om middel højden i populationen, kunne antages at være 150 cm ud fra samme stikprøve ville vi få en meget positiv teststørrelse, 176,32-150 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM

Klik her for at lære mere om teststørrelser! -0,8386, ligger mellem -1,96 og 1,96, derfor vil vi ikke forkaste nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! på 5% signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet!, i øvrigt heller ikke på 10% signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet!. Det betyder vi kan ikke afvise, nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!.

I figuren nedenfor er indtegnet z-scoren, samt forkast ikke regionen samt forkast halerne når vi betragter 95% KI dvs. et 5% signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet!.

Figur 7.1: Tosidet z-test på 5 % signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! for MobilePay-eksemplet. TeststørrelsenTeststørrelsen kan populært forklares, som forskellen mellem observeret i stikprøven og forventet under nulhypotesen.

Teststørrelsen er et udtryk for forskellen mellem fx. gennemsnit, andel eller antal i stikprøven i forhold til påstanden i nulhypotesen H₀.
Teststørrelsen korrigerer for stikprøvestørrelse og standardafvigelse, men beregnes forskelligt afhængigt af hvilket test der udføres.
Testes fx. middelværdi μ eller eller hældning i lineær regression β, benyttes t-teststørrelsen
Testes andele kan fx. z-teststørrelsen benyttes
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, 176,32-210 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM
Ønskede at teste om middel højden i populationen, kunne antages at være 150 cm ud fra samme stikprøve ville vi få en meget positiv teststørrelse, 176,32-150 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM

Klik her for at lære mere om teststørrelser! z = −0,8386 ligger i det grønne forkast-ikke-området mellem de kritiske grænser ±1,96.
Kilde: Egen tilvirkning.

Hypotesetest en andel, ensidet alternativhypotese nedad

Figur 7.2: Ensidet test nedad på 10 % signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet!: kritisk region i venstre hale. z = −0,8386 ligger i forkast-ikke-området.
Kilde: Egen tilvirkning.

Figur 7.3: Ensidet p-værdip-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier! nedad: arealet til venstre for z = −0,8386 (større end 5 %), hvilket betyder vi ikke kan forkaste nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!.
Kilde: Egen tilvirkning.

Hypotesetest en andel, ensidet alternativhypotese opad

Hvis vi baseret på MobilePay-stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
i stedet havde spurgt:

Er andelen af MobilePay-brugere i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
større end 35%? Er andelen af MobilePay-brugere i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
højst 35%?

Begge disse udsagn leder hver sin vej til samme hypotese test.
Andelen af MobilePay-brugere i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
er større end 35%?
Kan omskrives til en alternativhypotese

$$H_{1}:p>0{,}35$$ Bemærk da operatoren større end > ikke indeholder et lighedstegn, ved vi at udsagnet skal skrives som en alternativhypotese. Det komplementære udsagn er altså nulhypotesen: $$H_{0}:p\leq0{,}35$$ Andelen af MobilePay-brugere i populationen er højst 35%? Kan omskrives til nulhypotesen $$H_{0}:p\leq0{,}35$$ Det komplementære udsagn bliver: $$H_{1}:p>0{,}35$$ Så begge udsagn fører altså til samme hypotesetest med ensidet alternativhypotese opad Vi siger, vi har en ensidet alternativhypotese opad, da kun stikprøveandele signifikant større end 0,35 ($H_{1}:p>0{,}35$), vil være kritiske for nulhypotesen. Det betyder at kun højre hale i z-fordelingen vil medføre at vi forkaster nulhypotesen.

Vi får, igen samme z-teststørrelseTeststørrelsen kan populært forklares, som forskellen mellem observeret i stikprøven og forventet under nulhypotesen.

Teststørrelsen er et udtryk for forskellen mellem fx. gennemsnit, andel eller antal i stikprøven i forhold til påstanden i nulhypotesen H₀.
Teststørrelsen korrigerer for stikprøvestørrelse og standardafvigelse, men beregnes forskelligt afhængigt af hvilket test der udføres.
Testes fx. middelværdi μ eller eller hældning i lineær regression β, benyttes t-teststørrelsen
Testes andele kan fx. z-teststørrelsen benyttes
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, 176,32-210 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM
Ønskede at teste om middel højden i populationen, kunne antages at være 150 cm ud fra samme stikprøve ville vi få en meget positiv teststørrelse, 176,32-150 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM

Klik her for at lære mere om teststørrelser! -0,8386. Men som det ses af standardnormalfordelingen i figuren nedenfor interesserer vi os nu kun for højre hale.

Figur 7.4: Ensidet test opad på 10 % signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet!: kritisk region i højre hale. z = −0,8386 ligger langt fra forkast-området.
Kilde: Egen tilvirkning.

Figur 7.5: Ensidet p-værdip-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier! opad: arealet til højre for z = −0,8386 er meget stort, så nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! kan ikke forkastes.
Kilde: Egen tilvirkning.

Quiz

Selvtest

Spørgsmål