13. Den hypergeometriske fordeling

Den hypergeometriske fordeling beskriver sandsynligheden for antal succeser k i en stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
En stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
, er et udsnit af populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
(den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
afspejler populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
korrekt, siger vi stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
er repræsentativ.
Vi bruger stikprøverEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
, da det er billigere end at undersøge hele populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
, hvor vi måler 100 mænds højde.
StikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
består så af de 100 målinger af højderne, populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver! af størrelse n, fra en endelig populationPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
af størrelse N. StikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
udtages i modsætning til binomialfordelingenBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en sandsynlighedsparameter her p=¹⁄₆ og en antalsparameter her n=30.

Klik her for at lære mere om binomialfordelingen!BinomialfordelingenBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en sandsynlighedsparameter her p=¹⁄₆ og en antalsparameter her n=30.

Klik her for at lære mere om binomialfordelingen! er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for slå flere end 5 seksere x=5 i n=30 kast med en terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingenBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en sandsynlighedsparameter her p=¹⁄₆ og en antalsparameter her n=30.

Klik her for at lære mere om binomialfordelingen!.
For beregningen af sandsynlighederSandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor sandsynligt et udfald er — fx P(6) = 1/6 for en terning.
ChatGPT gør det samme, bare med alle ord i sproget som mulige udfald i stedet for terningesider.

Klik her for at lære mere i kapitel 16! i binomialfordelingenBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en sandsynlighedsparameter her p=¹⁄₆ og en antalsparameter her n=30.

Klik her for at lære mere om binomialfordelingen!, kræves en sandsynlighedsparameter her p=¹⁄₆ og en antalsparameter her n=30.

Klik her for at lære mere om binomialfordelingen! , uden tilbagelægning, det betyder sandsynligheden for succes ikke er konstant som for binomialfordelingenBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en sandsynlighedsparameter her p=¹⁄₆ og en antalsparameter her n=30.

Klik her for at lære mere om binomialfordelingen!BinomialfordelingenBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en sandsynlighedsparameter her p=¹⁄₆ og en antalsparameter her n=30.

Klik her for at lære mere om binomialfordelingen! er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for slå flere end 5 seksere x=5 i n=30 kast med en terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingenBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en sandsynlighedsparameter her p=¹⁄₆ og en antalsparameter her n=30.

Klik her for at lære mere om binomialfordelingen!.
For beregningen af sandsynlighederSandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor sandsynligt et udfald er — fx P(6) = 1/6 for en terning.
ChatGPT gør det samme, bare med alle ord i sproget som mulige udfald i stedet for terningesider.

Klik her for at lære mere i kapitel 16! i binomialfordelingenBinomialfordelingen er en diskret (heltallig) fordeling, der angiver sandsynligheden for x succeser, ved n forsøg.
Sandsynligheden for at slå flere end 5 seksere (x>5) i n=30 kast med en terning, kan fx. beregnes vha. binomialfordelingen.
For beregningen af sandsynligheder i binomialfordelingen, kræves en sandsynlighedsparameter her p=¹⁄₆ og en antalsparameter her n=30.

Klik her for at lære mere om binomialfordelingen!, kræves en sandsynlighedsparameter her p=¹⁄₆ og en antalsparameter her n=30.

Klik her for at lære mere om binomialfordelingen! .

Denne egenskab gør fordelingen velegnet til at forklare stikprøvekontrolEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
uden tilbagelægning, fx ved AI-understøttet stikprøveudtagningEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
i forbindelse med hvidvasktjek eller compliance-audits.

Vi har følgende størrelser når vi ser på den hypergeometriske fordeling:

Den hypergeometriske fordeling	PopulationPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc. Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen. Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde. Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd. Klik her for at lære mere om populationen!	StikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ. Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen. Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde. Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd. Klik her for at lære mere om stikprøver!	Ikke trukket ud
Succes	m	k	m-k
Fiasko	N-m	n-k	N + k - n - m
Ialt	N	n	N-n

Tabel 13.1: Opstilling af den hypergeometriske fordelings grundstørrelser — succeser og fiaskoer fordelt på populationPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
, stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
og de elementer, der ikke er trukket ud.
Kilde: Egen tilvirkning.

Antag, at en endelig populationPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
består af en pose med gule og røde M&M’s N=100, der udtages en stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
En stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
, er et udsnit af populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
(den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
afspejler populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
korrekt, siger vi stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
er repræsentativ.
Vi bruger stikprøverEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
, da det er billigere end at undersøge hele populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
, hvor vi måler 100 mænds højde.
StikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
består så af de 100 målinger af højderne, populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver! på n=20 M&M. Succes er gule M&M’s, der er m=30 gule M&M’s i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
altså posen. Vi siger den stokastiske variabel X, er fordelt efter den hypergeometriske fordeling med parametreneEn parameter betegner en ukendt konstant i en statistisk model eller formel, ud fra en stikprøve estimeres (gættes kvalificeret på) dens værdi.
En parameter kan fx. være β, μ, p, σ etc.
Vi ønsker at udtale os om danske mænds højde, populationen er så danske mænd. Stikprøve gennemsnittet for fx. 100 mænds højde 179,34 cm. er parameter estimatet (gættet på middelværdien i populationen). Den sande ukendte parameter i populationen er altså middelhøjden i populationen μ

I AI-sammenhæng bruges ordet parametre om de tal modellen justerer under træning — som knapper på et kæmpe regneapparat. GPT-1 havde 117 millioner parametre; de største modeller anslås til billioner.
Flere parametre = modellen kan skelne mellem flere sproglige mønstre — men det koster eksponentielt mere at træne.

Klik her for at lære mere om parametre og parameter-estimater! N=100, m=30, n=20 notationen er:

$$X∼h(N=100,m=30,n=20)$$

Man kan da beregne sandsynligheden for netop k gule M&M’s i stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
vha. den hypergeometriske fordeling. Vi kan for at få et overblik skrive værdierne ind i skemaet.

Den hypergeometriske fordeling	PopulationPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc. Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen. Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde. Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd. Klik her for at lære mere om populationen!	StikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ. Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen. Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde. Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd. Klik her for at lære mere om stikprøver!	Ikke trukket ud
Succes	m=30	k	m-k=30-k
Fiasko	N-m=100-30=70	n-k=20-k	N + k - n - m=100+k-20-30
Ialt	N=100	n=20	N-n=100-20

Tabel 13.2: Skemaet fra Tabel 13.1 udfyldt med tallene fra M&M-eksemplet: N=100 M&M's i alt, m=30 gule, stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
n=20.
Kilde: Egen tilvirkning.

Hver gang vi tager en M&M, ændres sandsynligheden for at næste M&M er gul. Er den trukne M&M rød stiger sandsynligheden for gul i næste trækning, er den gul falder sandsynligheden for gul i næste trækning. Vi lægger ikke de trukne M&M’s tilbage i posen, derfor siger vi “uden tilbagelægning”.

Vi kan udregne punktsandsynligheden for k succeser ud fra den hypergeometriske fordeling, den generelle formel er:

$$P(X=k)=\frac{\binom{m}{k}⋅\binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$

Hvor binomialkoefficienten udregnes som:

$$\binom{m}{k}=\frac{m!}{k!⋅(m-k)!}=$$ $$\frac{m⋅(m-1)⋅...⋅1}{k⋅(k-1)⋅...⋅1⋅(m-k)⋅(m-k-1)⋅(m-k-2)⋅...⋅1}$$

Hvis vi i vort eksempel ønsker at beregne sandsynligheden for at trække k=4 gule M&M’s får vi:

$$P(X=4)=\frac{\binom{30}{4}⋅\binom{100-30}{20-4}}{\binom{100}{4}}=0{,}1268$$

Hvor fx. binomialkoefficienten

$$\binom{30}{4}=\frac{30!}{4!⋅(30-4)!}=$$ $$\frac{30⋅29⋅...⋅1}{4⋅3⋅2⋅1⋅26⋅25⋅24⋅...⋅1}=27405$$

Sandsynlighedsfordelingen bliver som nedenfor:

Figur 13.1: Sandsynlighedsfordelingen h(N=100, m=30, n=20) — punktsandsynligheden for k gule M&M's i en stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
på n=20 fra en pose med N=100, hvoraf m=30 er gule. Hold musen over en søjle for den præcise sandsynlighed. Fordelingen topper omkring middelværdien μ=6.
Kilde: Egen tilvirkning.

Middelværdien for den hypergeometriske fordeling bestemmes udfra formlen:

$$\mu=E(X)=\frac{n⋅m}{N}$$

I eksemplet med M&M’s bliver middelværdien således:

$$\mu=E(X)=\frac{n⋅m}{N}=\frac{20⋅30}{100}=6$$

Variansen udregnes udfra formlen:

$$\sigma^{2}=Var(X)=\frac{n⋅m⋅(N-m)}{N^{2}}⋅\frac{N-n}{N-1}$$

I eksemplet med M&M’s bliver variansen:

$$ \sigma^2=Var(X)= \frac{n \cdot m \cdot (N-m)}{N^2} \cdot \frac{N-n}{N-1}=$$ $$ \frac{20 \cdot 30 \cdot (100-30)}{100^2} \cdot \frac{100-20}{100-1}=3,3939394$$

StandardafvigelsenStandardafvigelsen fortæller hvor meget en variabel typisk varierer omkring middelværdien.
Standardafvigelsen også kaldet spredningen, findes som kvadratroden af variansen, i modsætning til variansen er standardafvigelsen i samme enhed som variablen hvilket gør tolkning nemmere.

Kursen for en aktie med middelkurs 100 Kr. og standardafvigelse 1 svinger meget mindre, end en aktie med middelkurs 100 og standardafvigelse 10. Da investorer er risikoaverse vil de foretrække aktien med den mindste standardafvigelse.

Klik her for at lære mere om standardafvigelsen! er jo blot kvadratroden af variansen:

$$ \sigma=sd(X)=1,8422647$$

Nedenfor ses output fra Freestat.

Quiz

Quiz den hypergeometriske fordeling

Selvtest

Selvtest den hypergeometriske fordeling med videoløsninger

Spørgsmål

En bank giver mulighed for at investere i 100 investeringsforeninger, ud af disse investerer 10 bla. i våben- og tobaksindustrien. Banken kører forskellige afkast simuleringer på vilkårlige porteføljer, der netop indeholder 15 investeringsforeninger.

1. Hvad er sandsynligheden for en tilfældigt udvalgt portefølje ikke har investeringer i våben og tobaksindustrien?
2. Hvad er sandsynligheden for at porteføljen højst indeholder 2 investeringsforeninger, der har investeringer i våben og tobaksindustrien?
3. Hvad er sandsynligheden for at porteføljen mindst indeholder 2 investeringsforeninger, der har investeringer i våben og tobaksindustrien?
4. Hvad er sandsynligheden for at porteføljen indeholder præcis 15 investeringsforeninger, der har investeringer i våben og tobaksindustrien?

1. $$P(X=0)=\frac{\binom{10}{0}⋅\binom{100-10}{15-0}}{\binom{100}{15}}=0{,}1808$$ Det betyder, at sandsynligheden for at porteføljen indeholder netop 0 investeringsforeninger med investeringer i våben- og tobaksindustrien er 18,08%. Output fra Freestat bliver:

2. $$P(X\leq2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=$$ $$0{,}1808+0{,}3568+0{,}2919=0{,}8295$$ Det betyder, at sandsynligheden for at porteføljen indeholder højst 2 investeringsforeninger med investeringer i våben- og tobaksindustrien er 82,95%. Output fra Freestat bliver:

3. $$P(X\geq2)=1-P(X<2)=1-P(X=0)-P(X=1)=$$ $$1-0{,}1808-0{,}3568=0{,}4624$$ Det betyder sandsynligheden for at porteføljen indeholder mindst 2 investeringsforeninger, der har investeringer i våben- og tobaksindustrien, er 46,24%. Output fra Freestat bliver:

4. $$P(X=15)=0$$ Det kan ikke lade sig gøre at porteføljen indeholder 15 investeringsforeninger, der har investeringer i våben og tobaksindustrien. Der er kun 10 af sådanne investeringsforeninger, derfor bliver sandsynligheden for hændelsen 0%. Output fra Freestat bliver:

Den hypergeometriske fordeling	Population	Stikprøve	Ikke trukket ud
Succes	m=10	k	m-k=10-k
Fiasko	N-m=100-10=90	n-k=15-k	N + k - n - m=100+k-15-10
Ialt	N=100	n=15	N-n=100-15=85

Tabel 13.3: Skemaet fra Tabel 13.1 udfyldt med tallene fra opgaven om investeringsforeninger: N=100, m=10 med investeringer i våben- og tobaksindustrien, stikprøve n=15.
Kilde: Egen tilvirkning.

13. Den hypergeometriske fordeling

Quiz

Selvtest

Spørgsmål

Du har nu adgang