5. Konfidensintervaller

Konfidensintervallet også kaldet KI eller CI (engelsk), fortæller os, baseret på en simpelt tilfældigt udvalgt stikprøve En stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!

, med en bestemt konfidens- eller sikkerhed, indenfor hvilken nedre og øvre grænse, en populationsparameter ligger.

Vi taler om et 95% konfidensniveauKonfidensniveauet 1-α angiver sandsynligheden for ikke at forkaste en sand nulhypotese dvs. korrekt beslutning.
Man kan bestemme konfidensniveauet som 1-α dvs. 1 minus signifikansniveauet.
Dvs. summen af signifikansniveauet og konfidensniveauet giver altid 1 eller 100%

Klik her for at lære mere om konfidensniveauet!, det betyder, at i 19 ud af 20 simpelt tilfældigt udtrukne stikprøverEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
af samme størrelse, ligger populationsparameterenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
i konfidensintervalletKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
(populationsparameterenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
kan fx. være andelen, middelværdien eller standardafvigelsenStandardafvigelsen fortæller hvor meget en variabel typisk varierer omkring middelværdien.
Standardafvigelsen også kaldet spredningen, findes som kvadratroden af variansen, i modsætning til variansen er standardafvigelsen i samme enhed som variablen hvilket gør tolkning nemmere.

Kursen for en aktie med middelkurs 100 Kr. og standardafvigelse 1 svinger meget mindre, end en aktie med middelkurs 100 og standardafvigelse 10. Da investorer er risikoaverse vil de foretrække aktien med den mindste standardafvigelse.

Klik her for at lære mere om standardafvigelsen! i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
). Sandsynligheden for at populationensPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
parameterEn parameter betegner en ukendt konstant i en statistisk model eller formel, ud fra en stikprøve estimeres (gættes kvalificeret på) dens værdi.
En parameter kan fx. være β, μ, p, σ etc.
Vi ønsker at udtale os om danske mænds højde, populationen er så danske mænd. Stikprøve gennemsnittet for fx. 100 mænds højde 179,34 cm. er parameter estimatet (gættet på middelværdien i populationen). Den sande ukendte parameter i populationen er altså middelhøjden i populationen μ

I AI-sammenhæng bruges ordet parametre om de tal modellen justerer under træning — som knapper på et kæmpe regneapparat. GPT-1 havde 117 millioner parametre; de største modeller anslås til billioner.
Flere parametre = modellen kan skelne mellem flere sproglige mønstre — men det koster eksponentielt mere at træne.

Klik her for at lære mere om parametre og parameter-estimater!, ikke ligger i konfidensintervalletKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
er 5%, dette kalder vi signifikansniveauetSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! og betegner med α. I 1 ud af 20 simpelt tilfældigt udtrukne stikprøverEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
af samme størrelse, ligger populationsparameterenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
, altså ikke i vores konfidensintervalKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
. Typiske konfidensniveauerKonfidensniveauet 1-α angiver sandsynligheden for ikke at forkaste en sand nulhypotese dvs. korrekt beslutning.
Man kan bestemme konfidensniveauet som 1-α dvs. 1 minus signifikansniveauet.
Dvs. summen af signifikansniveauet og konfidensniveauet giver altid 1 eller 100%

Klik her for at lære mere om konfidensniveauet! er 90%, 95% og 99%, med tilhørende signifikansniveauerSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! på 10%, 5% og 1%. For hvert par gælder det, at konfidensniveauKonfidensniveauet 1-α angiver sandsynligheden for ikke at forkaste en sand nulhypotese dvs. korrekt beslutning.
Man kan bestemme konfidensniveauet som 1-α dvs. 1 minus signifikansniveauet.
Dvs. summen af signifikansniveauet og konfidensniveauet giver altid 1 eller 100%

Klik her for at lære mere om konfidensniveauet! og signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! tilsammen summerer til 1 eller 100%.

Konfidensinterval for middelværdien

Vi bestemmer nedre og øvre grænse for konfidensintervallet, når vi ikke kender populationens standardafvigelse σ og estimerer denne vha. S altså $\hat{{\sigma}}$ , ved hjælp af følgende (bliv ikke bange software beregner grænserne for os) formel:

$$ (1-\alpha) KI = [\bar{X} - t_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}; \bar{X} + t_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}] $$

Hvor $t_{1-\frac{\alpha}{2}}$ er $1-\frac{\alpha}{2}$ fraktilen for t-fordelingen. En forudsætning for at benytte ovennævnte fordeling, ved små stikprøver (n ca. mindre end 30), er, at populationen er approksimativt (tilnærmelsesvist) normalfordelt. Man kan fx. teste normaliteten af populationen, ved at undersøge om observationerne fra stikprøven ligger pænt i et normalfraktildiagram. Er populationen ikke normal, kan man altså benytte en større stikprøve.

Når han har beregnet grænserne ved formlen, kan han sætte de nedre og øvre grænser for konfidensintervalletKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
ind i nedenstående sætning:

Vi kan med 95% sikkerhed sige at den gennemsnitlige afstand til filialen, for kunderne i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
ligger mellem [nedre grænse] og [øvre grænse] meter

Vi bestemmer nedre grænse for 95% KI ved:

$$ \bar{X} - t_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} = $$

$$ 748 - 1.972 \cdot \frac{102}{\sqrt{200}} = 733{,}7773 $$

Hvor vi har benyttet 97,5% fraktilen for t-fordelingen med $n-1 = 199$ frihedsgrader denne er 1.972, bemærk denne er ikke langt fra 97,5% fraktilen for z-fordelingen 1,96, når vi har en stikprøve på 200.

Vi bestemmer tilsvarende øvre grænse for 95% KI ved:

$$ \bar{X} + t_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} = $$

$$ 748 + 1.972 \cdot \frac{102}{\sqrt{200}} = 762{,}2227 $$

Vi kan med 95% sikkerhed sige at den gennemsnitlige afstand til filialen, for kunderne i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
ligger mellem 733,7773 og 762,2227 meter

Fejlmargin ved middelværdi

Fejlmarginen er den halve længde af konfidensintervalletKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
, denne kan altså i forrige eksempel beregnes som:

$$ \frac{762{,}2227 - 733{,}7773}{2} = 14{,}2227 $$

Vi kan også udregne fejlmarginen ved formlen:

$$ 1.972 \cdot \frac{102}{\sqrt{200}} = 14{,}2227 $$

Vi bruger t-fordelingent-fordelingen bruges i statistik når vi estimerer standardafvigelsen baseret på en stikprøve, vi bruger t-fordelingen til at beregne konfidensintervaller og hypoteseteste.
Udseendet af t-fordelingen bestemmes ud fra antal frihedsgrader, den ligner standard normalfordelingen altså normalfordelingen der har middel 0 og standardafvigelse 1, bare med federe haler. Når antal frihedsgrader stiger approximerer (tilnærmer sig) t-fordelingen z-fordelingen.

Klik her for at lære mere om t-fordelingen! når vi ikke kender standardafvigelsenStandardafvigelsen fortæller hvor meget en variabel typisk varierer omkring middelværdien.
Standardafvigelsen også kaldet spredningen, findes som kvadratroden af variansen, i modsætning til variansen er standardafvigelsen i samme enhed som variablen hvilket gør tolkning nemmere.

Kursen for en aktie med middelkurs 100 Kr. og standardafvigelse 1 svinger meget mindre, end en aktie med middelkurs 100 og standardafvigelse 10. Da investorer er risikoaverse vil de foretrække aktien med den mindste standardafvigelse.

Klik her for at lære mere om standardafvigelsen! σ for populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
. Hvis standardafvigelsenStandardafvigelsen fortæller hvor meget en variabel typisk varierer omkring middelværdien.
Standardafvigelsen også kaldet spredningen, findes som kvadratroden af variansen, i modsætning til variansen er standardafvigelsen i samme enhed som variablen hvilket gør tolkning nemmere.

Kursen for en aktie med middelkurs 100 Kr. og standardafvigelse 1 svinger meget mindre, end en aktie med middelkurs 100 og standardafvigelse 10. Da investorer er risikoaverse vil de foretrække aktien med den mindste standardafvigelse.

Klik her for at lære mere om standardafvigelsen! σ for populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
er kendt, bruger vi standardnormalfordelingen, som vi også kalder z-fordelingenz-fordelingen (kaldes også standard normalfordelingen) er normalfordelingen med middelværdi μ = 0 og standardafvigelse σ = 1.
Historisk har man benyttet transformation af normalfordelinger til z-fordelingen, for derefter at bestemmme sandsynligheder ud fra tabelopslag.
Med computere er tabelopslag ikke længere nødvendige, hvorfor z-fordelingens ikke længere har samme vigtighed.

Klik her for at lære mere om z-fordelingen!. Er stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
stor kan vi ligeledes bruge z-fordelingenz-fordelingen (kaldes også standard normalfordelingen) er normalfordelingen med middelværdi μ = 0 og standardafvigelse σ = 1.
Historisk har man benyttet transformation af normalfordelinger til z-fordelingen, for derefter at bestemmme sandsynligheder ud fra tabelopslag.
Med computere er tabelopslag ikke længere nødvendige, hvorfor z-fordelingens ikke længere har samme vigtighed.

Klik her for at lære mere om z-fordelingen!. Forskellen på z-fordelingenz-fordelingen (kaldes også standard normalfordelingen) er normalfordelingen med middelværdi μ = 0 og standardafvigelse σ = 1.
Historisk har man benyttet transformation af normalfordelinger til z-fordelingen, for derefter at bestemmme sandsynligheder ud fra tabelopslag.
Med computere er tabelopslag ikke længere nødvendige, hvorfor z-fordelingens ikke længere har samme vigtighed.

Klik her for at lære mere om z-fordelingen! og t-fordelingent-fordelingen bruges i statistik når vi estimerer standardafvigelsen baseret på en stikprøve, vi bruger t-fordelingen til at beregne konfidensintervaller og hypoteseteste.
Udseendet af t-fordelingen bestemmes ud fra antal frihedsgrader, den ligner standard normalfordelingen altså normalfordelingen der har middel 0 og standardafvigelse 1, bare med federe haler. Når antal frihedsgrader stiger approximerer (tilnærmer sig) t-fordelingen z-fordelingen.

Klik her for at lære mere om t-fordelingen! er, at t-fordelingent-fordelingen bruges i statistik når vi estimerer standardafvigelsen baseret på en stikprøve, vi bruger t-fordelingen til at beregne konfidensintervaller og hypoteseteste.
Udseendet af t-fordelingen bestemmes ud fra antal frihedsgrader, den ligner standard normalfordelingen altså normalfordelingen der har middel 0 og standardafvigelse 1, bare med federe haler. Når antal frihedsgrader stiger approximerer (tilnærmer sig) t-fordelingen z-fordelingen.

Klik her for at lære mere om t-fordelingen! har federe haler i forhold til z-fordelingensz-fordelingen (kaldes også standard normalfordelingen) er normalfordelingen med middelværdi μ = 0 og standardafvigelse σ = 1.
Historisk har man benyttet transformation af normalfordelinger til z-fordelingen, for derefter at bestemmme sandsynligheder ud fra tabelopslag.
Med computere er tabelopslag ikke længere nødvendige, hvorfor z-fordelingens ikke længere har samme vigtighed.

Klik her for at lære mere om z-fordelingen! klokkeform.

KI beregnes ved z-fordelingenz-fordelingen (kaldes også standard normalfordelingen) er normalfordelingen med middelværdi μ = 0 og standardafvigelse σ = 1.
Historisk har man benyttet transformation af normalfordelinger til z-fordelingen, for derefter at bestemmme sandsynligheder ud fra tabelopslag.
Med computere er tabelopslag ikke længere nødvendige, hvorfor z-fordelingens ikke længere har samme vigtighed.

Klik her for at lære mere om z-fordelingen! som:

$$ (1-\alpha) KI = [\bar{X} - z_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}; \bar{X} + z_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}] $$

Hvor $z_{1-\frac{\alpha}{2}}$ er $1-\frac{\alpha}{2}$ fraktilen for z-fordelingen. En forudsætning for at benytte ovennævnte fordeling, ved små stikprøver (n ca. mindre end 30), er, at populationen er approksimativt (tilnærmelsesvist) normalfordelt. Man kan fx. teste normaliteten af populationen, ved at undersøge om observationerne fra stikprøven ligger pænt i et normalfraktildiagram. Er populationen ikke normal, kan man altså benytte en større stikprøve.

Tryg aktien

Hent data for dagsafkastet i procent på Tryg-aktien her.

Vi bestemmer nedre grænse for 95% KI ved:

$$ \bar{X} - t_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} = $$

$$ 0{,}0272371 - 1{,}9627 \cdot \frac{1{,}5992825}{\sqrt{868}} = -0{,}0793 $$

Hvor vi har benyttet 97,5% fraktilen for t-fordelingent-fordelingen bruges i statistik når vi estimerer standardafvigelsen baseret på en stikprøve, vi bruger t-fordelingen til at beregne konfidensintervaller og hypoteseteste.
Udseendet af t-fordelingen bestemmes ud fra antal frihedsgrader, den ligner standard normalfordelingen altså normalfordelingen der har middel 0 og standardafvigelse 1, bare med federe haler. Når antal frihedsgrader stiger approximerer (tilnærmer sig) t-fordelingen z-fordelingen.

Klik her for at lære mere om t-fordelingen! med 867 frihedsgraderFrihedsgrader angiver, løst formuleret uden detaljer, antallet af værdier, der frit kan variere i beregningen af teststørrelsen.
Antallet af frihedsgrader bestemmer udseendet af fordelingen, t-, F- og Χ²-fordelinger bestemmes ud fra antallet af frihedsgrader.
Antallet af frihedsgrader for t-fordelingen bestemmes ved antallet af observationer i stikprøven minus 1, når antal frihedsgrader stiger approximerer t-fordelingen standard normalfordelingen.
Antallet af frihedsgrader for Χ²-fordelingen bestemmes ved (række-kategorier minus en) gange (søjle-kategorier minus en), når antal frihedsgrader stiger approximerer Χ²-fordelingen normalfordelingen.

Klik her for at lære mere om frihedsgrader! denne er 1,9627, bemærk denne er ikke langt fra 97,5% fraktilen for z-fordelingenz-fordelingen (kaldes også standard normalfordelingen) er normalfordelingen med middelværdi μ = 0 og standardafvigelse σ = 1.
Historisk har man benyttet transformation af normalfordelinger til z-fordelingen, for derefter at bestemmme sandsynligheder ud fra tabelopslag.
Med computere er tabelopslag ikke længere nødvendige, hvorfor z-fordelingens ikke længere har samme vigtighed.

Klik her for at lære mere om z-fordelingen! 1,96, når vi har en stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
på 868

Vi bestemmer tilsvarende øvre grænse for 95% KI ved:

$$ \bar{X} + t_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} = $$

$$ 0{,}0272371 + 1{,}9627 \cdot \frac{1{,}5992825}{\sqrt{868}} = 0{,}1338 $$

Vi kan altså med 95% sikkerhed sige at det gennemsnitlige dagsafkast i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
ligger mellem -0,0793% og 0,1338%.

Tilsvarende bestemmer vi 90% KI for Tryg aktien:

Vi kan altså med 90% sikkerhed sige at det gennemsnitlige dagsafkast i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
ligger mellem -0,0621% og 0,1166%.

99% KI for Tryg aktien bliver:

Vi kan altså med 99% sikkerhed sige at det gennemsnitlige dagsafkast i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
ligger mellem -0,1129% og 0,1674%.

KonfidensintervallerKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
bruges på samme måde til at kvantificere usikkerheden på en ML-models performance-mål, fx AUC eller accuracy, når dette er estimeret på en valideringsstikprøve.

Konfidensinterval for standardafvigelsen

Ligesom vi kan sige at middelværdien for populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
med en vis sikkerhed ligger i et bestemt interval, kan vi beregne konfidensintervallerKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
for standardafvigelsenStandardafvigelsen fortæller hvor meget en variabel typisk varierer omkring middelværdien.
Standardafvigelsen også kaldet spredningen, findes som kvadratroden af variansen, i modsætning til variansen er standardafvigelsen i samme enhed som variablen hvilket gør tolkning nemmere.

Kursen for en aktie med middelkurs 100 Kr. og standardafvigelse 1 svinger meget mindre, end en aktie med middelkurs 100 og standardafvigelse 10. Da investorer er risikoaverse vil de foretrække aktien med den mindste standardafvigelse.

Klik her for at lære mere om standardafvigelsen! i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
. Freetat beregner konfidensintervalletKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
for standardafvigelsenStandardafvigelsen fortæller hvor meget en variabel typisk varierer omkring middelværdien.
Standardafvigelsen også kaldet spredningen, findes som kvadratroden af variansen, i modsætning til variansen er standardafvigelsen i samme enhed som variablen hvilket gør tolkning nemmere.

Kursen for en aktie med middelkurs 100 Kr. og standardafvigelse 1 svinger meget mindre, end en aktie med middelkurs 100 og standardafvigelse 10. Da investorer er risikoaverse vil de foretrække aktien med den mindste standardafvigelse.

Klik her for at lære mere om standardafvigelsen! for os, beregningen er lidt indviklet denne er angivet herunder for en ordens skyld, men vi vil blot benytte Freestat.

$$ (1-\alpha) KI = \left[\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2},df_{n-1}}}}; \sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2},df_{n-1}}}}\right] $$

Hvor $\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2},df_{n-1}}$ er $1-\frac{\alpha}{2}$ fraktilen for $\chi^2$ fordelingen med $n-1$ frihedsgrader. s er $\hat{\sigma}$

Husk at tjekke for normalitet fx. i et normalfraktildiagramNormalfraktildiagrammer kan bruges til at afgøre, om en stikprøve kan antages at stamme fra normalfordelt population.
Hvis punkterne ligger pænt omkring den rette linje er normalitetsbetingelsen opfyldt. Ved test af fx. en mindre kvantitativ stikprøve og varianshomogenitet forudsættes at variablene opfylder normalitetsbetingelsen.

Klik her for at lære mere om normalfraktildiagrammer!. Det er en forudsætning for at benytte formlen ved konfidensintervalletKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
for standardafvigelsenStandardafvigelsen fortæller hvor meget en variabel typisk varierer omkring middelværdien.
Standardafvigelsen også kaldet spredningen, findes som kvadratroden af variansen, i modsætning til variansen er standardafvigelsen i samme enhed som variablen hvilket gør tolkning nemmere.

Kursen for en aktie med middelkurs 100 Kr. og standardafvigelse 1 svinger meget mindre, end en aktie med middelkurs 100 og standardafvigelse 10. Da investorer er risikoaverse vil de foretrække aktien med den mindste standardafvigelse.

Klik her for at lære mere om standardafvigelsen!, at stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
stammer fra en normalfordelt populationPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
.

IMDB ratings datasæt

I datasættet IMDB data, findes oplysninger om 759 film inklusiv ratings for disse. Hvis vi betragter datasættet som en simpelt tilfældigt udtrukket stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
, kan vi udtale os om populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
. Vi undersøger vha. Freestat normalfraktildiagramNormalfraktildiagrammer kan bruges til at afgøre, om en stikprøve kan antages at stamme fra normalfordelt population.
Hvis punkterne ligger pænt omkring den rette linje er normalitetsbetingelsen opfyldt. Ved test af fx. en mindre kvantitativ stikprøve og varianshomogenitet forudsættes at variablene opfylder normalitetsbetingelsen.

Klik her for at lære mere om normalfraktildiagrammer!, om stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
kan antages at stamme fra en normalfordelt populationPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
. Af nedenstående plot ses denne forudsætning at være opfyldt.

Vores bedste gæt på standardafvigelsen i populationen er $\hat{\sigma} = 1{,}5414$, dvs. en films rating typisk afviger 1,54 point fra gennemsnittet 5,96.

Vi kan af Freestat se, at den sande standardafvigelse i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
med 95% sikkerhed ligger mellem 1,4676 og 1,6231 point.

Quiz

Spørgsmål

Spørgsmål konfidensinterval Tesla Model Y

Der er indsamlet en repræsentativ stikprøve med data for 100 brugte Tesla Model Y elbiler til salg. Gennemsnitsprisen er 400.000,- DKK og standardafvigelsen er 40.000,- DKK
Besvar følgende spørgsmål:

1. Hvilket af de typiske konfidensintervaller vil være mest præcist (dvs. smallest)?

2. Bestem 90% Konfidensintervallet for middelværdien

3. Bestem 95% Konfidensintervallet for middelværdien

4. Bestem 99% Konfidensintervallet for middelværdien

5. Hvad bliver fejlmarginen for middelværdien, ved 95% konfidensniveau?

6. Hvor stor skal stikprøvestørrelsen være, for at fejlmarginen for middelværdien er 5.000,- DKK?

Svar konfidensinterval Tesla Model Y

Bemærk vi har i denne opgave ikke rådata, vi må derfor benytte højre side 1 Kvantitativ stikprøve beregnede data i fanen Middelværdi standardafvigelse i Freestat

1. 90% Konfidensintervallet vil være mest præcist, dvs. smallest, her er dog samtidigt den laveste sikkerhed, kun 90%, for at den sande gennemsnitspris for en brugt Tesla Model Y, ligger i intervallet

2. Vi kan med 90% sikkerhed sige, at den ukendte sande gennemsnitspris for alle brugte Tesla Model Y elbiler i populationen, ligger mellem 393.358,- DKK og 406.642,- DKK

3. Vi kan med 95% sikkerhed sige, at den ukendte sande gennemsnitspris for alle brugte Tesla Model Y elbiler i populationen, ligger mellem 392.063,- DKK og 407.937,- DKK

4. Vi kan med 99% sikkerhed sige, at den ukendte sande gennemsnitspris for alle brugte Tesla Model Y elbiler i populationen, ligger mellem 389.494,- DKK og 410.506,- DKK

5. Fejlmarginen er halvdelen af bredden af konfidensintervallet (407.937-392.063)/2 = 7.937,- DKK

6. Stikprøvestørrelsen skal mindst være på 246 biler, for at fejlmarginen kun er 5.000,- DKK.

Spørgsmål konfidensinterval BANKDATA

Vi ser her på data for bankansatte, betragt variablen gennemsnitligt antal års uddannelse education. Datasættet kan hentes her.

1. Bestem 90% Konfidensintervallet for middelværdien

2. Bestem 95% Konfidensintervallet for middelværdien

3. Bestem 99% Konfidensintervallet for middelværdien

Svar konfidensinterval BANKDATA

1. Antal års uddannelse i populationen ligger med 90% sikkerhed mellem 13,27 og 13,71 år

2. Antal års uddannelse i populationen ligger med 95% sikkerhed mellem 13,23 og 13,75 år

3. Antal års uddannelse i populationen ligger med 99% sikkerhed mellem 13,15 og 13,83 år

Spørgsmål konfidensinterval for standardafvigelsen

Vi har en indsamlet data for dagsafkastet i procent for en aktie på 80 vilkårlige handelsdage. Aktien har et gennemsnitligt dagsafkast i procent på 0,05% og en standardafvigelse på 0,6% Bestem 95% konfidensintervallet for standardafvigelsen i populationen, som er alle handelsdage for aktien.

Svar konfidensinterval for standardafvigelsen

Vi har ikke rådata for de 80 handelsdage, derfor må vi i stedet benytte beregnede data i Freestat fanen Middelværdi standardafvigelse.

Vi kan med 95% sikkerhed sige at standardafvigelsen i populationen σ ligger mellem 0,52% og 0,71%. Den ukendte typiske afvigelse fra gennemsnittet blandt alle handelsdage ligger med 95% sikkerhed mellem 0,52% og 0,71%.

Vi kan se Freestat beregner konfidensintervallet KI i celle U8 og U9, ligeledes står en kort sætning i celle T20 der beskriver konfidensintervallet.

Spørgsmål konfidensinterval for standardafvigelsen bankansatte USA

Vi kan ligeledes se på data for bankansatte betragt variablen gennemsnitligt antal års uddannelse education. Datasættet kan hentes her: bankdata

1. Bestem 90% Konfidensinterval for standardafvigelsen for variablen education.

2. Bestem 95% Konfidensinterval for standardafvigelsen for variablen education.

3. Bestem 99% Konfidensinterval for standardafvigelsen for variablen education.

Svar konfidensinterval for standardafvigelsen bankansatte USA

1. Vi kan med 90% sikkerhed sige at standardafvigelsen for antal års uddannelse i populationen σ ligger mellem 2,74 år og 3,05 år.

2. Vi kan med 95% sikkerhed sige at standardafvigelsen for antal års uddannelse i populationen σ ligger mellem 2,71 år og 3,08 år.

3. Vi kan med 99% sikkerhed sige at standardafvigelsen for antal års uddannelse i populationen σ ligger mellem 2,66 år og 3,15 år.