4. Normalfordelingen

Vi vil i dette kapitel se på forskellige typer af fordelinger. Data-, stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
- og sandsynlighedsfordelingen. For at forstå sammenhængen mellem disse er normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! essentiel. NormalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! er den vigtigste sandsynlighedsfordeling, den er kontinuert symmetrisk mesokurtisk og bestemmes entydigt
ud fra middelværdien μ og standardafvigelsenStandardafvigelsen fortæller hvor meget en variabel typisk varierer omkring middelværdien.
Standardafvigelsen også kaldet spredningen, findes som kvadratroden af variansen, i modsætning til variansen er standardafvigelsen i samme enhed som variablen hvilket gør tolkning nemmere.

Kursen for en aktie med middelkurs 100 Kr. og standardafvigelse 1 svinger meget mindre, end en aktie med middelkurs 100 og standardafvigelse 10. Da investorer er risikoaverse vil de foretrække aktien med den mindste standardafvigelse.

Klik her for at lære mere om standardafvigelsen! σ. En undersøgelse hos Tall life viste, at danske mænds højde i gennemsnit er 180,4 centimeter, med en standardafvigelse på 7,42 centimeter. Vi udtager simpelt tilfældigt 3 stikprøverEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
på 1000 danske mænd og måler deres højde, og markerer hver persons højde i centimeter på x-aksen.

Figur 4.1: Tre simulerede stikprøverEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
på 1000 danske mænds højde fra N(180,4; 7,42). Observationerne ligger tættest omkring middelværdien — midten bliver næsten sort.
Kilde: Tall Life (data om danske mænds gennemsnitshøjde og standardafvigelse); egen visualisering.

Bemærk hvorledes personerne ligger meget tættere omkring middelværdien 180,4, her er figuren næsten sort. Vi kan se at der er forskellige meget høje og lave personer i de 3 stikprøverEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
. Vi kan indtegne fordelingen af alle danske mænds højder, som en normalfordelingsNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! tæthedsfunktion. Når observationerne ligger tættere, vil kurven være højere.

Figur 4.2: NormalfordelingensNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! tæthedsfunktion for danske mænds højde — μ = 180,4 cm, σ = 7,42 cm. Hold musen over kurven for tæthed.
Kilde: Tall Life (data om danske mænds gennemsnitshøjde og standardafvigelse); egen visualisering.

IQ, Popcorn poptider, nedbør, vandstand etc. er normalfordelte fænomener. Tæthedsfunktionen for normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! er givet ved:

$$ f(x, \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} $$

Grafen nedenfor viser 3 normalfordelingerNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! alle med middelværdi μ=0 og standardafvigelser σ på hhv. 1, 2 og 4.

Figur 4.3: Tre normalfordelingerNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! med samme middelværdi μ = 0, men forskellig standardafvigelse σ (1, 2 og 4). Jo større σ, jo fladere og bredere kurve.
Kilde: Egen tilvirkning.

Grafen nedenfor viser 3 normalfordelingerNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! med middelværdier μ på hhv. -1, 0, 4 alle med standardafvigelse σ = 1.

Figur 4.4: Tre normalfordelingerNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! med samme standardafvigelse σ = 1, men forskellig middelværdi μ (-1, 0 og 4). Kurverne har samme form, men er forskudt langs x-aksen.
Kilde: Egen tilvirkning.

Middelværdi, median og modusModus/modalværdi/typetallet er den hyppigst forekommende observation for et observations sæt.

Klik her for at lære mere om modus! /typetal er altid identisk for normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen!, skævhedSkævheden angiver om en fordeling er venstreskæv (hale mod venstre, skævheden er negativ), symmetrisk (skævheden er ca. 0) eller højreskæv (hale mod højre, skævheden er positiv)
Man vil ofte ud fra fordelingen i fx. et histogram eller et boksplot, kunne vurdere skævheden

Klik her for at lære mere om skævhed! og kurtosisKurtosis (topstejlhed) angiver om en fordeling er spids (leptokurtisk), klokkeformet (mesokurtisk) eller flad (platykurtisk).
Normalfordelingen er klokkeformet (mesokurtisk), man kan beregne kurtosis som et tal er fordelingen:
Spids (leptokurtisk) er kurtosis positiv
Klokkeformet (mesokurtisk) er kurtosis ca. 0
Flad (platykurtisk) er kurtosis negativ
Man vil ofte ud fra fordelingen i fx. et histogram kunne vurdere topstejlheden.

Klik her for at lære mere om kurtosis! er 0.

Normalfordelt Stokastisk variabel

En stokastisk variabel X inden for sandsynlighedsregningSandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor sandsynligt et udfald er — fx P(6) = 1/6 for en terning.
ChatGPT gør det samme, bare med alle ord i sproget som mulige udfald i stedet for terningesider.

Klik her for at lære mere i kapitel 16!, er en variabel hvis værdi påvirkes af tilfældigheder. Når der er tilknyttet et sandsynlighedsmål, kan vi måle sandsynligheden for forskellige udfald. Hvis sandsynlighedsmålet fx. er normalfordelt skriver vi X ∼ N ( μ , σ ) . Vi kan så beregne sandsynlighederSandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor sandsynligt et udfald er — fx P(6) = 1/6 for en terning.
ChatGPT gør det samme, bare med alle ord i sproget som mulige udfald i stedet for terningesider.

Klik her for at lære mere i kapitel 16! for at X antager forskellige værdier. Ønsker vi at bestemme sandsynligheden for at at få et udfald mindre end fx 3, skriver vi dette som P ( X < 3 ) , hvor P står for probability sandsynligheden. Vi skriver altid stort P, lille p betyder proportion andel indenfor statistik. Skal vi bestemme sandsynligheden for at X antager en værdi mellem 3 og 5, skriver vi dette som P ( 3 < X < 5 ) . Ser vi på eksemplet med danske mænds højde, kan vi definere en normalfordelt stokastisk variabel X ∼ N ( μ = 180,4 , σ = 7,42 ) . Skal vi bestemme sandsynligheden for at en person er lavere end 178 cm, skriver vi dette som P ( X < 178 ) . Vi kan beregne sandsynlighederSandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor sandsynligt et udfald er — fx P(6) = 1/6 for en terning.
ChatGPT gør det samme, bare med alle ord i sproget som mulige udfald i stedet for terningesider.

Klik her for at lære mere i kapitel 16! i det meste software. I Excel ville vi beregne P ( X < 178 ) = 0,37 , ved hjælp af formlen =NORMAL.FORDELING(178;180,4;7,42;1).

Standard normalfordelingen

Der findes en særlig kendt normalfordelingNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen!, kaldet standard normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen!, denne har parametreneEn parameter betegner en ukendt konstant i en statistisk model eller formel, ud fra en stikprøve estimeres (gættes kvalificeret på) dens værdi.
En parameter kan fx. være β, μ, p, σ etc.
Vi ønsker at udtale os om danske mænds højde, populationen er så danske mænd. Stikprøve gennemsnittet for fx. 100 mænds højde 179,34 cm. er parameter estimatet (gættet på middelværdien i populationen). Den sande ukendte parameter i populationen er altså middelhøjden i populationen μ

I AI-sammenhæng bruges ordet parametre om de tal modellen justerer under træning — som knapper på et kæmpe regneapparat. GPT-1 havde 117 millioner parametre; de største modeller anslås til billioner.
Flere parametre = modellen kan skelne mellem flere sproglige mønstre — men det koster eksponentielt mere at træne.

Klik her for at lære mere om parametre og parameter-estimater! μ = 0 og σ = 1 , hvilket altså betyder den har middel, median og modusModus/modalværdi/typetallet er den hyppigst forekommende observation for et observations sæt.

Klik her for at lære mere om modus! 0 og standardafvigelse 1. Standard normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! ses i figuren herunder.

Figur 4.5: Standard normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! N(0; 1) — middelværdi μ = 0 og standardafvigelse σ = 1.
Kilde: Egen tilvirkning.

Ligesom for andre fordelinger, kan vi beregne fraktilerFraktiler er et tal mellem 0 og 1, der angiver andelen af et ordnet observationssæt. Vi opdeler et datasæt ordnet fra mindst til størst efter andelen angivet ved fraktilen.
Hvis fx. 0,45 fraktilen for mænds højde er 176 cm betyder det at 45% af mændene højst er 176 cm, og 55% er højere 176 cm.
Kendte fraktiler er:
0,25 fraktilen kaldes også 1. kvartil, 25% af observationerne er mindre end 1. kvartil.
0,5 fraktilen kaldes også medianen, 50% af observationerne er mindre end medianen.
0,75 fraktilen kaldes også 3. kvartil, 75% af observationerne er mindre end 3. kvartil.
0,1, 0,2, 0,3, 0,4... kaldes deciler

Klik her for at lære mere om fraktiler! for alle normalfordelingerNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen!, vi kan således beregne fx. 5% fraktilen -1,64 for standard normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen!. Dette betyder at der er 5% sandsynlighed for at få værdier mindre end -1,64 og således 95% sandsynlighed for at få værdier der er større end -1,64, dette er illustreret i figuren.

Figur 4.6: Standard normalfordelingensNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! 5%-fraktil ved z = −1,64. Det grå areal i venstre hale udgør 5% af sandsynlighedsmassen.
Kilde: Egen tilvirkning.

På grund af symmetrien for normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen!, og da standardnormalfordelingen har middel 0 bliver 95% fraktilen bliver 1,64. Denne er vist i figuren herunder.

Figur 4.7: Standard normalfordelingensNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! 95%-fraktil ved z = 1,64. Det grå areal udgør 95% af sandsynlighedsmassen (værdier ≤ 1,64).
Kilde: Egen tilvirkning.

68% Normalfordelingen

Hvis man trækker 1 gange standardafvigelsenStandardafvigelsen fortæller hvor meget en variabel typisk varierer omkring middelværdien.
Standardafvigelsen også kaldet spredningen, findes som kvadratroden af variansen, i modsætning til variansen er standardafvigelsen i samme enhed som variablen hvilket gør tolkning nemmere.

Kursen for en aktie med middelkurs 100 Kr. og standardafvigelse 1 svinger meget mindre, end en aktie med middelkurs 100 og standardafvigelse 10. Da investorer er risikoaverse vil de foretrække aktien med den mindste standardafvigelse.

Klik her for at lære mere om standardafvigelsen! σ fra μ og lægger 1 gange standardafvigelsenStandardafvigelsen fortæller hvor meget en variabel typisk varierer omkring middelværdien.
Standardafvigelsen også kaldet spredningen, findes som kvadratroden af variansen, i modsætning til variansen er standardafvigelsen i samme enhed som variablen hvilket gør tolkning nemmere.

Kursen for en aktie med middelkurs 100 Kr. og standardafvigelse 1 svinger meget mindre, end en aktie med middelkurs 100 og standardafvigelse 10. Da investorer er risikoaverse vil de foretrække aktien med den mindste standardafvigelse.

Klik her for at lære mere om standardafvigelsen! til μ , får man for en vilkårlig normalfordelingNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! altid 68,27% af sandsynlighedsmassen. Denne egenskab er illustreret for standard normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! nedenfor, arealet er markeret med mørkegråt, dermed har man naturligvis 15,87% i hver hale da arealet under tæthedsfunktionen er 1 eller 100%.
$$ P(\mu - 1 \cdot \sigma \leq X \leq \mu + 1 \cdot \sigma) \approx 0{,}68 $$

Figur 4.8: Ca. 68% af sandsynlighedsmassen i standard normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! ligger mellem −1 og +1 standardafvigelse fra middelværdien.
Kilde: Egen tilvirkning.

90% Normalfordelingen

Hvis man trækker 1,6448 gange standardafvigelsenStandardafvigelsen fortæller hvor meget en variabel typisk varierer omkring middelværdien.
Standardafvigelsen også kaldet spredningen, findes som kvadratroden af variansen, i modsætning til variansen er standardafvigelsen i samme enhed som variablen hvilket gør tolkning nemmere.

Kursen for en aktie med middelkurs 100 Kr. og standardafvigelse 1 svinger meget mindre, end en aktie med middelkurs 100 og standardafvigelse 10. Da investorer er risikoaverse vil de foretrække aktien med den mindste standardafvigelse.

Klik her for at lære mere om standardafvigelsen! σ fra μ og lægger 1,6448 gange standardafvigelsenStandardafvigelsen fortæller hvor meget en variabel typisk varierer omkring middelværdien.
Standardafvigelsen også kaldet spredningen, findes som kvadratroden af variansen, i modsætning til variansen er standardafvigelsen i samme enhed som variablen hvilket gør tolkning nemmere.

Kursen for en aktie med middelkurs 100 Kr. og standardafvigelse 1 svinger meget mindre, end en aktie med middelkurs 100 og standardafvigelse 10. Da investorer er risikoaverse vil de foretrække aktien med den mindste standardafvigelse.

Klik her for at lære mere om standardafvigelsen! til μ , får man i normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! altid 90% af sandsynlighedsmassen.
$$ P(\mu - 1{,}64 \cdot \sigma \leq X \leq \mu + 1{,}64 \cdot \sigma) \approx 0{,}9 $$

Figur 4.9: Ca. 90% af sandsynlighedsmassen i standard normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! ligger mellem −1,64 og 1,64 standardafvigelser fra middelværdien.
Kilde: Egen tilvirkning.

95% Normalfordelingen

Hvis man trækker 1,96 gange standardafvigelsenStandardafvigelsen fortæller hvor meget en variabel typisk varierer omkring middelværdien.
Standardafvigelsen også kaldet spredningen, findes som kvadratroden af variansen, i modsætning til variansen er standardafvigelsen i samme enhed som variablen hvilket gør tolkning nemmere.

Kursen for en aktie med middelkurs 100 Kr. og standardafvigelse 1 svinger meget mindre, end en aktie med middelkurs 100 og standardafvigelse 10. Da investorer er risikoaverse vil de foretrække aktien med den mindste standardafvigelse.

Klik her for at lære mere om standardafvigelsen! σ fra μ og lægger 1,96 gange standardafvigelsenStandardafvigelsen fortæller hvor meget en variabel typisk varierer omkring middelværdien.
Standardafvigelsen også kaldet spredningen, findes som kvadratroden af variansen, i modsætning til variansen er standardafvigelsen i samme enhed som variablen hvilket gør tolkning nemmere.

Kursen for en aktie med middelkurs 100 Kr. og standardafvigelse 1 svinger meget mindre, end en aktie med middelkurs 100 og standardafvigelse 10. Da investorer er risikoaverse vil de foretrække aktien med den mindste standardafvigelse.

Klik her for at lære mere om standardafvigelsen! til μ , får man i normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! altid 95% af sandsynlighedsmassen. Denne z-score 0.975 fraktilen i standard normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen!, er meget vigtig, vi bruger den fx. når vi beregner 95%-konfidensintervalletKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
for middelværdien. Vi har altså følgende resultat:
$$ P(\mu - 1{,}96 \cdot \sigma \leq X \leq \mu + 1{,}96 \cdot \sigma) \approx 0{,}95 $$

Figur 4.10: Ca. 95% af sandsynlighedsmassen i standard normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! ligger mellem −1,96 og 1,96 standardafvigelser fra middelværdien.
Kilde: Egen tilvirkning.

99% Normalfordelingen

Hvis man trækker 2,5758 gange standardafvigelsenStandardafvigelsen fortæller hvor meget en variabel typisk varierer omkring middelværdien.
Standardafvigelsen også kaldet spredningen, findes som kvadratroden af variansen, i modsætning til variansen er standardafvigelsen i samme enhed som variablen hvilket gør tolkning nemmere.

Kursen for en aktie med middelkurs 100 Kr. og standardafvigelse 1 svinger meget mindre, end en aktie med middelkurs 100 og standardafvigelse 10. Da investorer er risikoaverse vil de foretrække aktien med den mindste standardafvigelse.

Klik her for at lære mere om standardafvigelsen! σ fra μ og lægger 2,5758 gange standardafvigelsenStandardafvigelsen fortæller hvor meget en variabel typisk varierer omkring middelværdien.
Standardafvigelsen også kaldet spredningen, findes som kvadratroden af variansen, i modsætning til variansen er standardafvigelsen i samme enhed som variablen hvilket gør tolkning nemmere.

Kursen for en aktie med middelkurs 100 Kr. og standardafvigelse 1 svinger meget mindre, end en aktie med middelkurs 100 og standardafvigelse 10. Da investorer er risikoaverse vil de foretrække aktien med den mindste standardafvigelse.

Klik her for at lære mere om standardafvigelsen! til μ , får man i normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! altid 99% af sandsynlighedsmassen. Vi illustrerer igen for standard normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen!, men resultatet er ækvivalent for samtlige normalfordelingerNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen!.
$$ P(\mu - 2{,}58 \cdot \sigma \leq X \leq \mu + 2{,}58 \cdot \sigma) \approx 0{,}99 $$

Figur 4.11: Ca. 99% af sandsynlighedsmassen i standard normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! ligger mellem −2,58 og 2,58 standardafvigelser fra middelværdien.
Kilde: Egen tilvirkning.

Addition af normalfordelinger

Der er en lang række gode egenskaber for normalfordelinger, der gør disse fordelinger særlig nemme at arbejde med. Hvis man har n uafhængige stokastiske, normalfordelte variable $$X_1 \sim N\left(\mu_1, \sigma^2_1\right), X_2 \sim N\left(\mu_2, \sigma^2_2\right), \ldots, X_n \sim N\left(\mu_n, \sigma^2_n\right) $$ , så er deres sum Z også normalfordelt med parametrene $$Z \sim N(\mu_1 + \mu_2 + \ldots + \mu_n, \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \ldots + \sigma_n^2) $$ Middelværdien er altså summen af middelværdierne, variansen er summen af varianserne. Husk der er tale om summen af varianserne ikke standardafvigelserne.

Hvis man fx. har en investering med fremtidige tilbagediskonterede cashflows 4, 2 og 3 fra tidspunkt 1, 2 og 3, hvor der er en usikkerhed på de tilbagediskonterede fremtidige cashflows beskrevet ved variansen for de 3 cashflows 2, 3, 4. Vi antager de fremtidige tilbagediskonterede cashflows er normalfordelte, hvor den forventede værdi for tilbagediskonterede cashflows er middelværdierne og usikkerheden for betalingsstrømmene beskrives ved variansen. Dette giver god mening, jo længere ude i fremtiden, des større usikkerhed dvs. varians. $$ X_1 \sim N(\mu=4, \sigma^2=2) $$ $$ X_2 \sim N(\mu=2, \sigma^2=3) $$ $$ X_3 \sim N(\mu=3, \sigma^2=4) $$ Det betyder summen af de tilbagediskonterede cashflows er normalfordelt med parametrene: $$X_{\text{cashflow}} \sim N\left( \mu = 4 + 2 + 3 = 9, \sigma^2 = 2 + 3 + 4 = 9 \right)$$ Man kan således bruge reglen om addition af normalfordelinger, til at få et overblik over det samlede forventede tilbagediskonterede cashflow og usikkerheden.

Linearkombinationer af normalfordelinger

Vi kan sammensætte n normalfordelte variable \(X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2), X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2), \ldots, X_n \sim N(\mu_n, \sigma_n^2) \) med en vektor af af n reelle tal \(\left(\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{n}\right)\) samt en konstant b, denne linearkombinationen Y også normalfordelt med parametrene $$Y \sim N(a_1\cdot \mu_1+a_2\cdot \mu_2+...a_n\cdot \mu_n+b,a^2_1\cdot \sigma^2_1+a^2_2\cdot \sigma^2_2+...+a^2_n\cdot \sigma^2_n)$$

Betragter man fx 3 aktiver, der kan beskrives ved normalfordelingerNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen!, med forventet afkast \begin{align*} \mu_1 &= 120, \\ \mu_2 &= 100, \\ \mu_3 &= 150 \end{align*} og usikkerhed \begin{align*} \sigma^2_1 &= 3, \\ \sigma^2_2 &= 9, \\ \sigma^2_3 &= 4 \end{align*} samt et risikofrit aktiv med afkast 100. Har man en portefølje der indholder hhv. 3, 2, 4 enheder af aktiver 1, 2 og 3 samt 1 risikofrit aktiv. Kan det forventede afkast af den samlede portefølje beskrives ved en normalfordelt stokastisk variabel med parametreneEn parameter betegner en ukendt konstant i en statistisk model eller formel, ud fra en stikprøve estimeres (gættes kvalificeret på) dens værdi.
En parameter kan fx. være β, μ, p, σ etc.
Vi ønsker at udtale os om danske mænds højde, populationen er så danske mænd. Stikprøve gennemsnittet for fx. 100 mænds højde 179,34 cm. er parameter estimatet (gættet på middelværdien i populationen). Den sande ukendte parameter i populationen er altså middelhøjden i populationen μ

I AI-sammenhæng bruges ordet parametre om de tal modellen justerer under træning — som knapper på et kæmpe regneapparat. GPT-1 havde 117 millioner parametre; de største modeller anslås til billioner.
Flere parametre = modellen kan skelne mellem flere sproglige mønstre — men det koster eksponentielt mere at træne.

Klik her for at lære mere om parametre og parameter-estimater!:

$$X_{portefølje} \sim N(a_1\cdot \mu_1+a_2\cdot \mu_2+...a_n\cdot \mu_n+b,a^2_1\cdot \sigma^2_1+a^2_2\cdot \sigma^2_2+...+a^2_n\cdot \sigma^2_n)=$$ Vi indsætter nu værdier: $$X_{portefølje} \sim N( \mu=3 \cdot 120 +2\cdot 100+4 \cdot 150+100=1260, \sigma^2 =3^2 \cdot 3 + 2^2 \cdot 9+ 4^2 \cdot 4 =127)$$

Transformation af normalfordelinger

En anden god egenskab ved normalfordelingerNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen!, er at de kan transformeresTransformer-arkitekturen er den struktur, moderne sprogmodeller bygger på. Den kan behandle hele sætninger på én gang i stedet for ord for ord, hvilket gør træningen meget hurtigere.
Google-forskere introducerede arkitekturen i 2017. Alle moderne sprogmodeller — inklusive ChatGPT, Claude og Gemini — bygger på denne idé.

Klik her for at læse mere om transformer i kapitel 1! til standardnormalfordelingen, dette gør det nemmere at beregne sandsynlighederSandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor sandsynligt et udfald er — fx P(6) = 1/6 for en terning.
ChatGPT gør det samme, bare med alle ord i sproget som mulige udfald i stedet for terningesider.

Klik her for at lære mere i kapitel 16! hvis man ikke har software til at udregne disse.

$$X \sim N(\mu,\sigma^{2})\rightarrow\ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(\mu = 0,\sigma^{2} = 1)$$

Vi kan nu beregne sandsynlighederSandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor sandsynligt et udfald er — fx P(6) = 1/6 for en terning.
ChatGPT gør det samme, bare med alle ord i sproget som mulige udfald i stedet for terningesider.

Klik her for at lære mere i kapitel 16! for at den oprindelige normalfordelte variabel er mindre end a \(P(X < a)\) , ved hjælp af standard normalfordelingen: \(P(Z < \frac{a - \mu}{\sigma})\)

Hvis vi ser på investeringen ovenfor

$$X_{cashflow} \sim N(\mu = 9,\sigma^{2} = 9)$$

kan vi transformere den til standard normalfordelingen. $$X_{cashflow} \sim N(\mu=9,\sigma^{2}=9)$$ $$\rightarrow\ Z=\frac{X - 9}{3} \sim N(\mu=0,\sigma^{2}=1)$$Vi kan bestemme, hvor stor sandsynligheden er, for at de fremtidige diskonterede cashflows er negative vha. standardnormalfordelingen dvs.
$$P(X_{cashflow} < 0)=P(Z < \frac{0 - 9}{3}=- 3)=0,00135$$
Nedenfor ses begge fordelinger med 0,00135 fraktilen.

Figur 4.12: NormalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! for det samlede tilbagediskonterede cashflow, N(9; 3) — arealet til venstre for 0 (0,00135-fraktilen) viser sandsynligheden for et negativt afkast.
Kilde: Egen tilvirkning.

Figur 4.13: Samme sandsynlighed illustreret på standardnormalfordelingen efter transformation til z: z mindre end −3 giver 0,00135.
Kilde: Egen tilvirkning.

Mange AI-drevne risikomodeller, fx Value-at-Risk-beregninger, bygger på netop denne antagelse om normalfordelte afkast. I praksis har finansielle afkast dog ofte tykkere haler ("fat tails") end normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! tilsiger, så sandsynligheden for store tab kan blive undervurderet.

Normalfraktildiagram

Hvis vi har mindre stikprøver, skal vi sikre os at data stammer fra normalfordelte populationer. Dette kan vi gøre vha. normalfraktildiagrammer, disse skal ligge pænt omkring den rette linje. Har man en lille stikprøve En stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver! og ønsker at sikre sig data stammer fra en normalfordelt population, kan man i Freestat indsætte stikprøven i 1 kvantitativ stikprøve og sikre sig at punkterne ligger pænt omkring den rette linje. En stikprøve En stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver! er lille, når den er mindre end 30 observationer. Det kan ofte være svært at se om data stammer en normalfordeling. Som det fremgår af nedenstående normalfraktildiagrammer er kun 4 af de 18 normalfordelte, specielt ved de mindre stikprøver er det svært at se præcis om data er normalfordelte. Man kan generelt sige at afvigelser fra den rette linje i enderne, er mindre kritiske en afvigelser omkring midten. Hvis man i forbindelse med analyse fx. konfidensinterval Konfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet! eller hypotesetest, konstaterer data ikke er normalfordelte, bør man bemærke dette og illustrere vha. normalfraktildiagrammet. Når man har rapporteret problemet, gennemfører man herefter analysen.

Parametre og parameter-estimater

Når man indsamler en stikpøve fx 100 studerendes højde, kan vi bruge denne stikprøve En stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver! til at sige noget om alle studerendes højde. I dette tilfælde er alle studerende, det vi kalder populationen, det er dem vi ønsker at vide noget om. Den gennemsnitlige højde i populationen er den ukendte parameter μ . Den gennemsnitlige højde på de studerende i stikprøven kalder vi parameterestimatet, estimatet betyder vores gæt på den ukendte sande gennemsnitlige højde på alle studerende, altså parameteren μ . Vi bruger betegnelsen:

$$\hat{\mu}$$ når vi taler om parameterestimater, så vores gæt angiver vi med en hat ^ . Da parameterestimatet er et gæt, er vi interesserede i kvaliteten af vort gæt. Vi ser nedenfor på stikprøvefordelingen, som vi kan bruge til at måle præcision af estimatet ved hjælp af konfidensintervaller.

Parameter-estimat for middelværdi

Hvis vi ønsker at udtale os om det gennemsnitlige daglige afkast af Tryg aktien den sande middelværdi μ , kan vi estimere det gennemsnitlige afkast i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
, ved gennemsnittet i stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
: \(\overline{x}\)
$$\hat{\mu} = \overline{x} = \frac{\sum\limits_{1}^{n}(x_{i})}{n} = \frac{23{,}6418}{868} = 0{,}0272$$

Parameter-estimat for standardafvigelsen

Vi har nævnt at standardafvigelsen af afkastet, er en vigtig faktor, når en investor skal bestemme volatiliteten i en aktie. Vi kan estimere den sande standardafvigelse i populationen σ , ud fra estimatet af standardafvigelsen \(\hat{\sigma}\) vha. stikprøven. For Tryg aktien regnes dette ud som: $$Parameteren\ \sigma\ estimeres\ ved\ \hat{\sigma} = S = \sqrt{\frac{\sum\limits_{1}^{n}(x_{i} - \overline{x})^{2}}{n - 1}} = \sqrt{\frac{2217{,}5298}{868 - 1}} = 1{,}6$$Nedenfor er en oversigt over vigtige parametre samt deres estimater. Vi er udover estimatet interesseret i, hvor sikre vi er på dette estimat, her er det vi vil benytte konfidensintervaller.

Tabel 4.1: Oversigt over centrale parametreEn parameter betegner en ukendt konstant i en statistisk model eller formel, ud fra en stikprøve estimeres (gættes kvalificeret på) dens værdi.
En parameter kan fx. være β, μ, p, σ etc.
Vi ønsker at udtale os om danske mænds højde, populationen er så danske mænd. Stikprøve gennemsnittet for fx. 100 mænds højde 179,34 cm. er parameter estimatet (gættet på middelværdien i populationen). Den sande ukendte parameter i populationen er altså middelhøjden i populationen μ

I AI-sammenhæng bruges ordet parametre om de tal modellen justerer under træning — som knapper på et kæmpe regneapparat. GPT-1 havde 117 millioner parametre; de største modeller anslås til billioner.
Flere parametre = modellen kan skelne mellem flere sproglige mønstre — men det koster eksponentielt mere at træne.

Klik her for at lære mere om parametre og parameter-estimater! (andel, middelværdi, varians og spredning) og deres stikprøvebaseredeEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
estimatorer/beregningsformler.
Kilde: Egen tilvirkning.

Data-, stikprøve- og populationsfordelingen

Vi sondrer mellem flere forskellige typer af fordelinger.

• PopulationsPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
  Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
  Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
  Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.
  
  Klik her for at lære mere om populationen!
  fordelingen af størrelse N. Denne er ikke kendt, men vi ønsker at drage slutninger om fordelingen, baseret på en stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
  Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
  Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
  Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.
  
  Klik her for at lære mere om stikprøver!
  .
• Datafordeligen er fordelingen af den stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
  Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
  Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
  Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.
  
  Klik her for at lære mere om stikprøver!
  af størrelse n, vi har indsamlet.
• StikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
  Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
  Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
  Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.
  
  Klik her for at lære mere om stikprøver!
  fordelingen fremkommer, hvis man fra populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
  Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
  Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
  Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.
  
  Klik her for at lære mere om populationen!
  , udtager alle stikprøverEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
  Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
  Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
  Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.
  
  Klik her for at lære mere om stikprøver!
  , af størrelse n. Fordelingen af parameterEn parameter betegner en ukendt konstant i en statistisk model eller formel, ud fra en stikprøve estimeres (gættes kvalificeret på) dens værdi.
  En parameter kan fx. være β, μ, p, σ etc.
  Vi ønsker at udtale os om danske mænds højde, populationen er så danske mænd. Stikprøve gennemsnittet for fx. 100 mænds højde 179,34 cm. er parameter estimatet (gættet på middelværdien i populationen). Den sande ukendte parameter i populationen er altså middelhøjden i populationen μ
  
  I AI-sammenhæng bruges ordet parametre om de tal modellen justerer under træning — som knapper på et kæmpe regneapparat. GPT-1 havde 117 millioner parametre; de største modeller anslås til billioner.
  Flere parametre = modellen kan skelne mellem flere sproglige mønstre — men det koster eksponentielt mere at træne.
  
  Klik her for at lære mere om parametre og parameter-estimater! estimaterneEstimat betyder gæt.
  Hvis vi har en stikprøve, hvor vi har målt 100 mænds højde til gennemsnitligt 179 cm., er vores bedste gæt på middelhøjden i populationen 179 cm. Vi kan skrive vort estimat for μ er 179 cm.
  
  Klik her for at lære mere om parametre og parameter-estimater! kaldes stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
  Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
  Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
  Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.
  
  Klik her for at lære mere om stikprøver!
  fordelingen.

Den centrale grænseværdisætning CLT

Den centrale grænseværdisætning CLT siger, at hvis man med tilbagelægning udtager tilstrækkeligt store stikprøver af størrelse n af en population, vil stikprøvefordelingen af middelværdien være approximativt Approximativt betyder nogenlunde eller cirka.
Hvis en fordeling er nogenlunde normalfordelt, skriver vi fordelingen er approximativt normalfordelt normal. Er populationsfordelingen hverken symmetrisk eller mesokurtisk vil stikprøve fordelingen stadig være tilnærmelsesvist normal, når blot stikprøve størrelsen er tilstrækkelig stor (mange bøger sætter denne grænse ved 30). Nedenfor har vi en højreskæv populationsfordeling med μ = 8 og σ = 4 , dette er jo den sædvanligvis ukendte population, fra hvilken vi trækker en stikprøve på størrelse n.

Figur 4.15: Højreskæv populationsfordelingPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
med μ = 8 og σ = 4 — toppunktet ligger til venstre for middelværdien, og fordelingen har en lang højre hale, i modsætning til den symmetriske normalfordelingNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen!.
Kilde: Egen tilvirkning.

Middelværdien for stikprøvefordelingenStikprøvefordelingen er en fordelingen af parameterestimaterne, ud fra uendelig mange lige store stikprøver fra populationen.
Stikprøvefordelingen er altså IKKE fordelingen af en enkelt stikprøve.
Stikprøvefordelingen for fx. middelværdien, vil være normalfordelt med middelværdi μ, standardfejlen SEM vil være standardafvigelsen for stikprøvefordelingen, når blot stikprøven er tilstrækkeligt stor (større end 30 observationer).
Normaliteten af stikprøvefordelingen gælder uanset om populationen stikprøverne trækkes fra ikke er normalfordelt.
Denne viden om stikprøvefordelingen bruges til hypotesetests og beregning af konfidensintervaller. Man har kun en stikprøve, men ved hvordan fordelingen ville blive, hvis man fortsatte med at udtage stikprøver af samme størrelse.

Klik her for at lære mere om stikprøvefordelingen! skrives i mange bøger med notationen

$$\mu_{\overline{X}} = \mu$$

Standardafvigelsen for stikprøvefordelingen kaldes standardfejlen for middelværdien (engelsk standard error of the mean SEM eller SE ) \(\sigma_{\overline{X}}\) er: $$SEM = \sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Vi bruger standardfejlen for middelværdien SEM til at beregne konfidensintervaller som vi ser på senere. Der gælder jo mindre SEM jo smallere konfidensinterval Konfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet! , og når stikprøvestørrelsen bliver større bliver SEM mindre. Det giver jo god mening, større stikprøve giver mindre SEM og dermed smallere konfidensinterval Konfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet! dvs. større præcision.

På figurerne er udtaget 3 gange 100 stikprøverEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
af størrelse n hhv. 30, 100 og 1000. På hver figur er gennemsnittene af de 100 stikprøverEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
angivet. Der er altså 100 pinde i hvert diagram. Bemærk CLT siger at for alle tre stikprøvefordelingerStikprøvefordelingen er en fordelingen af parameterestimaterne, ud fra uendelig mange lige store stikprøver fra populationen.
Stikprøvefordelingen er altså IKKE fordelingen af en enkelt stikprøve.
Stikprøvefordelingen for fx. middelværdien, vil være normalfordelt med middelværdi μ, standardfejlen SEM vil være standardafvigelsen for stikprøvefordelingen, når blot stikprøven er tilstrækkeligt stor (større end 30 observationer).
Normaliteten af stikprøvefordelingen gælder uanset om populationen stikprøverne trækkes fra ikke er normalfordelt.
Denne viden om stikprøvefordelingen bruges til hypotesetests og beregning af konfidensintervaller. Man har kun en stikprøve, men ved hvordan fordelingen ville blive, hvis man fortsatte med at udtage stikprøver af samme størrelse.

Klik her for at lære mere om stikprøvefordelingen! er μ = 8 , det ses af figurerne at gennemsnittene i stikprøverneEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
er centreret omkring middelværdien i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
μ = 8 .

Figur 4.16: CLT som 100 pinde (stikprøvegennemsnitEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
) pr. panel: n = 30, 100 og 1000. Alle er centreret om μ = 8 (rød stiplet linje); større n giver smallere spredning (mindre SEMStandardfejlen også kaldet SE (standard error) er standardafvigelsen for stikprøvefordelingen.
Hvor standardafvigelsen angiver den typiske afvigelse for en observation, kan standardfejlen udtrykke usikkerheden på fx. gennemsnittet af n målinger, hvor n er stikprøvestørrelsen. Standardfejlen for middelværdien SEM findes som standardafvigelsen divideret med kvadratroden af n, jo større stikprøve jo mindre standardfejl. Standardfejlen bruges til at beregne konfidensinterval. Nedre og øvre grænse for konfidensintervallet for middelværdien findes som middelværdien plus og minus ca. 2 gange standardfejlen.
Klik her for at lære mere om standardfejlen!).
Kilde: Egen tilvirkning.

Figur 4.17: StikprøvefordelingenStikprøvefordelingen er en fordelingen af parameterestimaterne, ud fra uendelig mange lige store stikprøver fra populationen.
Stikprøvefordelingen er altså IKKE fordelingen af en enkelt stikprøve.
Stikprøvefordelingen for fx. middelværdien, vil være normalfordelt med middelværdi μ, standardfejlen SEM vil være standardafvigelsen for stikprøvefordelingen, når blot stikprøven er tilstrækkeligt stor (større end 30 observationer).
Normaliteten af stikprøvefordelingen gælder uanset om populationen stikprøverne trækkes fra ikke er normalfordelt.
Denne viden om stikprøvefordelingen bruges til hypotesetests og beregning af konfidensintervaller. Man har kun en stikprøve, men ved hvordan fordelingen ville blive, hvis man fortsatte med at udtage stikprøver af samme størrelse.

Klik her for at lære mere om stikprøvefordelingen! for x̄ ved n = 30 — normalfordelt med μ = 8 og standardfejl SEMStandardfejlen også kaldet SE (standard error) er standardafvigelsen for stikprøvefordelingen.
Hvor standardafvigelsen angiver den typiske afvigelse for en observation, kan standardfejlen udtrykke usikkerheden på fx. gennemsnittet af n målinger, hvor n er stikprøvestørrelsen. Standardfejlen for middelværdien SEM findes som standardafvigelsen divideret med kvadratroden af n, jo større stikprøve jo mindre standardfejl. Standardfejlen bruges til at beregne konfidensinterval. Nedre og øvre grænse for konfidensintervallet for middelværdien findes som middelværdien plus og minus ca. 2 gange standardfejlen.
Klik her for at lære mere om standardfejlen! ≈ 0,73.
Kilde: Egen tilvirkning.

Figur 4.18: StikprøvefordelingenStikprøvefordelingen er en fordelingen af parameterestimaterne, ud fra uendelig mange lige store stikprøver fra populationen.
Stikprøvefordelingen er altså IKKE fordelingen af en enkelt stikprøve.
Stikprøvefordelingen for fx. middelværdien, vil være normalfordelt med middelværdi μ, standardfejlen SEM vil være standardafvigelsen for stikprøvefordelingen, når blot stikprøven er tilstrækkeligt stor (større end 30 observationer).
Normaliteten af stikprøvefordelingen gælder uanset om populationen stikprøverne trækkes fra ikke er normalfordelt.
Denne viden om stikprøvefordelingen bruges til hypotesetests og beregning af konfidensintervaller. Man har kun en stikprøve, men ved hvordan fordelingen ville blive, hvis man fortsatte med at udtage stikprøver af samme størrelse.

Klik her for at lære mere om stikprøvefordelingen! for x̄ ved n = 100 — normalfordelt med μ = 8 og standardfejl SEMStandardfejlen også kaldet SE (standard error) er standardafvigelsen for stikprøvefordelingen.
Hvor standardafvigelsen angiver den typiske afvigelse for en observation, kan standardfejlen udtrykke usikkerheden på fx. gennemsnittet af n målinger, hvor n er stikprøvestørrelsen. Standardfejlen for middelværdien SEM findes som standardafvigelsen divideret med kvadratroden af n, jo større stikprøve jo mindre standardfejl. Standardfejlen bruges til at beregne konfidensinterval. Nedre og øvre grænse for konfidensintervallet for middelværdien findes som middelværdien plus og minus ca. 2 gange standardfejlen.
Klik her for at lære mere om standardfejlen! = 0,4.
Kilde: Egen tilvirkning.

Figur 4.19: StikprøvefordelingenStikprøvefordelingen er en fordelingen af parameterestimaterne, ud fra uendelig mange lige store stikprøver fra populationen.
Stikprøvefordelingen er altså IKKE fordelingen af en enkelt stikprøve.
Stikprøvefordelingen for fx. middelværdien, vil være normalfordelt med middelværdi μ, standardfejlen SEM vil være standardafvigelsen for stikprøvefordelingen, når blot stikprøven er tilstrækkeligt stor (større end 30 observationer).
Normaliteten af stikprøvefordelingen gælder uanset om populationen stikprøverne trækkes fra ikke er normalfordelt.
Denne viden om stikprøvefordelingen bruges til hypotesetests og beregning af konfidensintervaller. Man har kun en stikprøve, men ved hvordan fordelingen ville blive, hvis man fortsatte med at udtage stikprøver af samme størrelse.

Klik her for at lære mere om stikprøvefordelingen! for x̄ ved n = 1000 — normalfordelt med μ = 8 og standardfejl SEMStandardfejlen også kaldet SE (standard error) er standardafvigelsen for stikprøvefordelingen.
Hvor standardafvigelsen angiver den typiske afvigelse for en observation, kan standardfejlen udtrykke usikkerheden på fx. gennemsnittet af n målinger, hvor n er stikprøvestørrelsen. Standardfejlen for middelværdien SEM findes som standardafvigelsen divideret med kvadratroden af n, jo større stikprøve jo mindre standardfejl. Standardfejlen bruges til at beregne konfidensinterval. Nedre og øvre grænse for konfidensintervallet for middelværdien findes som middelværdien plus og minus ca. 2 gange standardfejlen.
Klik her for at lære mere om standardfejlen! ≈ 0,13.
Kilde: Egen tilvirkning.

$$ \mu -1,96 \cdot {\sigma \over \sqrt{n}}=8-1,96 \cdot {4 \over \sqrt{30}}=6,57 $$

Vi udregner øvre intervalgrænse når n er 30 som:

$$ \mu +1,96 \cdot {\sigma \over \sqrt{n}}=8+1,96 \cdot {4 \over \sqrt{30}}=9,43 $$

Figur 4.20: 95%-konfidensintervalKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
for stikprøvefordelingenStikprøvefordelingen er en fordelingen af parameterestimaterne, ud fra uendelig mange lige store stikprøver fra populationen.
Stikprøvefordelingen er altså IKKE fordelingen af en enkelt stikprøve.
Stikprøvefordelingen for fx. middelværdien, vil være normalfordelt med middelværdi μ, standardfejlen SEM vil være standardafvigelsen for stikprøvefordelingen, når blot stikprøven er tilstrækkeligt stor (større end 30 observationer).
Normaliteten af stikprøvefordelingen gælder uanset om populationen stikprøverne trækkes fra ikke er normalfordelt.
Denne viden om stikprøvefordelingen bruges til hypotesetests og beregning af konfidensintervaller. Man har kun en stikprøve, men ved hvordan fordelingen ville blive, hvis man fortsatte med at udtage stikprøver af samme størrelse.

Klik her for at lære mere om stikprøvefordelingen! ved n = 30 — det grå areal mellem 6,57 og 9,43 udgør 95% af sandsynlighedsmassen omkring μ = 8.
Kilde: Egen tilvirkning.

Vi udregner nedre intervalgrænse når n er 100 som:

$$ \mu -1,96 \cdot {\sigma \over \sqrt{n}}=8-1,96 \cdot {4 \over \sqrt{100}}=7,22 $$

Vi udregner øvre intervalgrænse når n er 100 som:

$$ \mu +1,96 \cdot {\sigma \over \sqrt{n}}=8+1,96 \cdot {4 \over \sqrt{100}}=8,78 $$

Figur 4.21: 95%-interval ved n = 100 — smallere end ved n = 30 (SEMStandardfejlen også kaldet SE (standard error) er standardafvigelsen for stikprøvefordelingen.
Hvor standardafvigelsen angiver den typiske afvigelse for en observation, kan standardfejlen udtrykke usikkerheden på fx. gennemsnittet af n målinger, hvor n er stikprøvestørrelsen. Standardfejlen for middelværdien SEM findes som standardafvigelsen divideret med kvadratroden af n, jo større stikprøve jo mindre standardfejl. Standardfejlen bruges til at beregne konfidensinterval. Nedre og øvre grænse for konfidensintervallet for middelværdien findes som middelværdien plus og minus ca. 2 gange standardfejlen.
Klik her for at lære mere om standardfejlen! = 0,4).
Kilde: Egen tilvirkning.

Vi udregner nedre intervalgrænse når n er 1000 som:

$$ \mu -1,96 \cdot {\sigma \over \sqrt{n}}=8-1,96 \cdot {4 \over \sqrt{1000}}=7,75 $$

Vi udregner øvre intervalgrænse når n er 1000 som:

$$ \mu +1,96 \cdot {\sigma \over \sqrt{n}}=8+1,96 \cdot {4 \over \sqrt{1000}}=8,25 $$

Figur 4.22: 95%-interval ved n = 1000 — mellem 7,75 og 8,25 (hver hale 2,5%).
Kilde: Egen tilvirkning.

Frihedsgrader

FrihedsgraderFrihedsgrader angiver, løst formuleret uden detaljer, antallet af værdier, der frit kan variere i beregningen af teststørrelsen.
Antallet af frihedsgrader bestemmer udseendet af fordelingen, t-, F- og Χ²-fordelinger bestemmes ud fra antallet af frihedsgrader.
Antallet af frihedsgrader for t-fordelingen bestemmes ved antallet af observationer i stikprøven minus 1, når antal frihedsgrader stiger approximerer t-fordelingen standard normalfordelingen.
Antallet af frihedsgrader for Χ²-fordelingen bestemmes ved (række-kategorier minus en) gange (søjle-kategorier minus en), når antal frihedsgrader stiger approximerer Χ²-fordelingen normalfordelingen.

Klik her for at lære mere om frihedsgrader! eller degrees of freedom df betyder, hvor mange observationer kan variere frit. Hvis man fx. har en stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
med 4 observationer 1 , 2 , 2 , 3 og ønsker at estimere (gætte på) gennemsnittet i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
μ , så bliver vores bedste estimatEstimat betyder gæt.
Hvis vi har en stikprøve, hvor vi har målt 100 mænds højde til gennemsnitligt 179 cm., er vores bedste gæt på middelhøjden i populationen 179 cm. Vi kan skrive vort estimat for μ er 179 cm.

Klik her for at lære mere om parametre og parameter-estimater! for (gæt på) gennemsnittet \(\hat{\mu} = \overline{x} = \frac{1 + 2 + 2 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2\) .
Her er antallet af observationer, der kan variere frit, når gennemsnittet \(\overline{x} = 2\) er givet 4 − 1 = 3 , hvilket er antallet af frihedsgraderFrihedsgrader angiver, løst formuleret uden detaljer, antallet af værdier, der frit kan variere i beregningen af teststørrelsen.
Antallet af frihedsgrader bestemmer udseendet af fordelingen, t-, F- og Χ²-fordelinger bestemmes ud fra antallet af frihedsgrader.
Antallet af frihedsgrader for t-fordelingen bestemmes ved antallet af observationer i stikprøven minus 1, når antal frihedsgrader stiger approximerer t-fordelingen standard normalfordelingen.
Antallet af frihedsgrader for Χ²-fordelingen bestemmes ved (række-kategorier minus en) gange (søjle-kategorier minus en), når antal frihedsgrader stiger approximerer Χ²-fordelingen normalfordelingen.

Klik her for at lære mere om frihedsgrader!. Hvis de 3 første observationer er 1 , 2 , 2, vil den sidste observation være givet som 3, for at gennemsnittet bliver 2. Havde vi haft de 3 første observationer var 1 , 1 , 1 ville den sidste observation være givet som 5 for at gennemsnittet var 2. Ved 4 observationer, er der således 4 − 1 = 3 frihedsgraderFrihedsgrader angiver, løst formuleret uden detaljer, antallet af værdier, der frit kan variere i beregningen af teststørrelsen.
Antallet af frihedsgrader bestemmer udseendet af fordelingen, t-, F- og Χ²-fordelinger bestemmes ud fra antallet af frihedsgrader.
Antallet af frihedsgrader for t-fordelingen bestemmes ved antallet af observationer i stikprøven minus 1, når antal frihedsgrader stiger approximerer t-fordelingen standard normalfordelingen.
Antallet af frihedsgrader for Χ²-fordelingen bestemmes ved (række-kategorier minus en) gange (søjle-kategorier minus en), når antal frihedsgrader stiger approximerer Χ²-fordelingen normalfordelingen.

Klik her for at lære mere om frihedsgrader!, ved 10 observationer, er der således 10 − 1 = 9 frihedsgraderFrihedsgrader angiver, løst formuleret uden detaljer, antallet af værdier, der frit kan variere i beregningen af teststørrelsen.
Antallet af frihedsgrader bestemmer udseendet af fordelingen, t-, F- og Χ²-fordelinger bestemmes ud fra antallet af frihedsgrader.
Antallet af frihedsgrader for t-fordelingen bestemmes ved antallet af observationer i stikprøven minus 1, når antal frihedsgrader stiger approximerer t-fordelingen standard normalfordelingen.
Antallet af frihedsgrader for Χ²-fordelingen bestemmes ved (række-kategorier minus en) gange (søjle-kategorier minus en), når antal frihedsgrader stiger approximerer Χ²-fordelingen normalfordelingen.

Klik her for at lære mere om frihedsgrader! osv. Antallet af frihedsgraderFrihedsgrader angiver, løst formuleret uden detaljer, antallet af værdier, der frit kan variere i beregningen af teststørrelsen.
Antallet af frihedsgrader bestemmer udseendet af fordelingen, t-, F- og Χ²-fordelinger bestemmes ud fra antallet af frihedsgrader.
Antallet af frihedsgrader for t-fordelingen bestemmes ved antallet af observationer i stikprøven minus 1, når antal frihedsgrader stiger approximerer t-fordelingen standard normalfordelingen.
Antallet af frihedsgrader for Χ²-fordelingen bestemmes ved (række-kategorier minus en) gange (søjle-kategorier minus en), når antal frihedsgrader stiger approximerer Χ²-fordelingen normalfordelingen.

Klik her for at lære mere om frihedsgrader! når vi estimerer middelværdien, svarer til antallet af observationer i stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
n minus 1.

t-fordelingen

Udseendet af t-fordelinger bestemmes af parameteren antal frihedsgrader. Samtlige t-fordelinger har middelværdi μ = 0 og approximerer/tilnærmer sig standard normalfordelingen, når antallet af frihedsgrader vokser. Vi benytter populært sagt t-fordelinger i stedet for z-fordelinger, når populations variansen \(\sigma^{2}\) er ukendt. Antallet af frihedsgrader for t-fordelingen, ved konfidensinterval Konfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet! for middelværdi, svarer til antallet af observationer i stikprøven n minus 1.

I figuren er indtegnet 3 t-fordelingert-fordelingen bruges i statistik når vi estimerer standardafvigelsen baseret på en stikprøve, vi bruger t-fordelingen til at beregne konfidensintervaller og hypoteseteste.
Udseendet af t-fordelingen bestemmes ud fra antal frihedsgrader, den ligner standard normalfordelingen altså normalfordelingen der har middel 0 og standardafvigelse 1, bare med federe haler. Når antal frihedsgrader stiger approximerer (tilnærmer sig) t-fordelingen z-fordelingen.

Klik her for at lære mere om t-fordelingen! med hhv. 5, 10 og 100 frihedsgraderFrihedsgrader angiver, løst formuleret uden detaljer, antallet af værdier, der frit kan variere i beregningen af teststørrelsen.
Antallet af frihedsgrader bestemmer udseendet af fordelingen, t-, F- og Χ²-fordelinger bestemmes ud fra antallet af frihedsgrader.
Antallet af frihedsgrader for t-fordelingen bestemmes ved antallet af observationer i stikprøven minus 1, når antal frihedsgrader stiger approximerer t-fordelingen standard normalfordelingen.
Antallet af frihedsgrader for Χ²-fordelingen bestemmes ved (række-kategorier minus en) gange (søjle-kategorier minus en), når antal frihedsgrader stiger approximerer Χ²-fordelingen normalfordelingen.

Klik her for at lære mere om frihedsgrader! (df degrees of fredom). Vi kan se fordelingerne har tykkere haler end normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! og når antallet at frihedsgraderFrihedsgrader angiver, løst formuleret uden detaljer, antallet af værdier, der frit kan variere i beregningen af teststørrelsen.
Antallet af frihedsgrader bestemmer udseendet af fordelingen, t-, F- og Χ²-fordelinger bestemmes ud fra antallet af frihedsgrader.
Antallet af frihedsgrader for t-fordelingen bestemmes ved antallet af observationer i stikprøven minus 1, når antal frihedsgrader stiger approximerer t-fordelingen standard normalfordelingen.
Antallet af frihedsgrader for Χ²-fordelingen bestemmes ved (række-kategorier minus en) gange (søjle-kategorier minus en), når antal frihedsgrader stiger approximerer Χ²-fordelingen normalfordelingen.

Klik her for at lære mere om frihedsgrader! er 100 ser z- og t-fordelingent-fordelingen bruges i statistik når vi estimerer standardafvigelsen baseret på en stikprøve, vi bruger t-fordelingen til at beregne konfidensintervaller og hypoteseteste.
Udseendet af t-fordelingen bestemmes ud fra antal frihedsgrader, den ligner standard normalfordelingen altså normalfordelingen der har middel 0 og standardafvigelse 1, bare med federe haler. Når antal frihedsgrader stiger approximerer (tilnærmer sig) t-fordelingen z-fordelingen.

Klik her for at lære mere om t-fordelingen! næsten identiske ud.

Figur 4.23: Standard normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen! sammenlignet med t-fordelingert-fordelingen bruges i statistik når vi estimerer standardafvigelsen baseret på en stikprøve, vi bruger t-fordelingen til at beregne konfidensintervaller og hypoteseteste.
Udseendet af t-fordelingen bestemmes ud fra antal frihedsgrader, den ligner standard normalfordelingen altså normalfordelingen der har middel 0 og standardafvigelse 1, bare med federe haler. Når antal frihedsgrader stiger approximerer (tilnærmer sig) t-fordelingen z-fordelingen.

Klik her for at lære mere om t-fordelingen! ved 5, 10 og 100 frihedsgraderFrihedsgrader angiver, løst formuleret uden detaljer, antallet af værdier, der frit kan variere i beregningen af teststørrelsen.
Antallet af frihedsgrader bestemmer udseendet af fordelingen, t-, F- og Χ²-fordelinger bestemmes ud fra antallet af frihedsgrader.
Antallet af frihedsgrader for t-fordelingen bestemmes ved antallet af observationer i stikprøven minus 1, når antal frihedsgrader stiger approximerer t-fordelingen standard normalfordelingen.
Antallet af frihedsgrader for Χ²-fordelingen bestemmes ved (række-kategorier minus en) gange (søjle-kategorier minus en), når antal frihedsgrader stiger approximerer Χ²-fordelingen normalfordelingen.

Klik her for at lære mere om frihedsgrader!. t-fordelingent-fordelingen bruges i statistik når vi estimerer standardafvigelsen baseret på en stikprøve, vi bruger t-fordelingen til at beregne konfidensintervaller og hypoteseteste.
Udseendet af t-fordelingen bestemmes ud fra antal frihedsgrader, den ligner standard normalfordelingen altså normalfordelingen der har middel 0 og standardafvigelse 1, bare med federe haler. Når antal frihedsgrader stiger approximerer (tilnærmer sig) t-fordelingen z-fordelingen.

Klik her for at lære mere om t-fordelingen! har tykkere haler end normalfordelingenNormalfordelingen er en symmetrisk, klokkeformet fordeling.
Mange fænomener er normalfordelte fx. nedbørsmængder, højde, stikprøvefordelingen etc.
Normalfordelingen bestemmes entydigt ud fra middelværdien μ og standardafvigelsen σ
Normalfordelte stokastiske variable har mange gode egenskaber, addition af og multiplikation med en faktor giver igen normalfordelte stokastiske variable.
Danskernes højde er fx. normalfordelt med middelværdi μ = 180,2 cm. og standardafvigelse σ = 7,42

Klik her for at lære mere om normalfordelingen!, men nærmer sig N(0,1), når antallet af frihedsgraderFrihedsgrader angiver, løst formuleret uden detaljer, antallet af værdier, der frit kan variere i beregningen af teststørrelsen.
Antallet af frihedsgrader bestemmer udseendet af fordelingen, t-, F- og Χ²-fordelinger bestemmes ud fra antallet af frihedsgrader.
Antallet af frihedsgrader for t-fordelingen bestemmes ved antallet af observationer i stikprøven minus 1, når antal frihedsgrader stiger approximerer t-fordelingen standard normalfordelingen.
Antallet af frihedsgrader for Χ²-fordelingen bestemmes ved (række-kategorier minus en) gange (søjle-kategorier minus en), når antal frihedsgrader stiger approximerer Χ²-fordelingen normalfordelingen.

Klik her for at lære mere om frihedsgrader! vokser.
Kilde: Egen tilvirkning.

Quiz

Quiz om normalfordelingen Quiz om stikprøvefordelingen

Selvtest

Selvtest normalfordelingen med videoløsning

Spørgsmål