14. Poissonfordelingen
PoissonfordelingenPoisson fordelingen er en diskret sandsynlighedsfordeling, der angiver
sandsynligheden for at et antal begivenheder, indtræffer i tid eller
rum.
Fx. Antal konkurser pr år. Fordelingen bestemmes udelukkende ud fra
middelværdien λ, der angiver det forventede antal hændelser pr. måleenhed,
i eksemplet her er λ det forventede antal konkurser pr. år.
Klik her
for at lære mere om Poisson fordelingen! er en diskret sandsynlighedsfordeling der
angiver sandsynligheden for at et antal begivenheder, indtræffer i tid eller
rum. Fx.
- Antal cykelpunkteringer indenfor 1000 km.
- Antal mål i EM-finalen.
- Antal dødsfald i trafikken på et år.
- Antal kunder i en bankfilial i timen.
- Antal skadesanmeldelser i løbet af ugen.
Denne type modellering af sjældne hændelser pr. tidsenhed ligger også til grund for AI-baseret svindeldetektion, hvor man overvåger antallet af mistænkelige transaktioner pr. time, og indgår mere bredt i finanssektorens operationelle risikostyring.
Poissonfordelingen har kun en parameter middelværdien
$λ$
(det græske bogstav lambda), det forventede antal hændelser pr. enhed.
Notationen for en stokastisk variabel der er poissonfordelt er:
$$X∼Pois(λ)$$
Når vi kender
$λ$, kan vi beregne punktsandsynligheden for at den stokastiske variabel
X er
netop x som:
$$P(X=x)=\frac{e^{-λ}⋅λ^{x}}{x!}$$
Uafhængighed mellem antal hændelser der indtræffer i 2 på hinanden følgende
intervaller er en forudsætning. Har der fx. været 1 punktering på de første
1000 km. påvirker dette ikke det forventede antal punkteringer på de næste
1000 km. Vi kalder også
$λ$
for intensiteten, intensiteten er konstant for intervaller af samme længde
og proportional med intervallængden. Er
$λ=3$
for hver 1000 kilometer, bliver
$λ=6$
for 2000 kilometer.
Hvis det forventede antal punkteringer
$λ=3$, kan vi beregne sandsynligheden for fx. 4 punkteringer som:
$$P(X=4)=\frac{e^{-λ}⋅λ^{x}}{x!}=\frac{e^{-3}⋅3^{4}}{4!}=\frac{4{,}032753}{4⋅3⋅2⋅1}=0{,}1680$$
Sandsynligheden for netop 4 punkteringer er derfor 17%. Ønsker vi at
bestemme sandsynligheden for højst 4 punkteringer dvs.
$$P(X\leq4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=$$
$$0{,}0498+0{,}1494+0{,}2240+0{,}2240+0{,}1680=0{,}8152$$
Sandsynligheden for flere end 4 punkteringer kan udregnes som:
$$P(X>4)=1-P(X\leq4)=1-0{,}8152=0{,}1848$$
Variansen for poissonfordelingen er
$λ$, heraf følger at standardafvigelsen som kvadratroden af
$λ$
dvs.
$λ^{0,5}$
Vi får følgende sandsynlighedsfordeling.
Figur 14.1: PoissonfordelingenPoisson fordelingen er en diskret sandsynlighedsfordeling, der angiver
sandsynligheden for at et antal begivenheder, indtræffer i tid eller
rum.
Fx. Antal konkurser pr år. Fordelingen bestemmes udelukkende ud fra
middelværdien λ, der angiver det forventede antal hændelser pr. måleenhed,
i eksemplet her er λ det forventede antal konkurser pr. år.
Klik her
for at lære mere om Poisson fordelingen! Pois(λ=3) — punktsandsynligheden for x cykelpunkteringer pr. 1000 km. Hold musen over en søjle for den præcise sandsynlighed. Søjlen ved x=4 svarer til udregningen ovenfor, P(X=4)=0,168.
Kilde: Egen tilvirkning.
Quiz
Spørgsmål
1. Hvad er sandsynligheden for der netop ankommer 1 kunde i minuttet?
2. Hvad er sandsynligheden for der netop ankommer 10 kunder på 10 minutter?
3. Hvad er sandsynligheden for der mindst ankommer 1 kunde i minuttet?
1. Vi skal finde sandsynligheden for der netop ankommer 1 kunde i
minuttet. Her er tale om en poissonfordeling med parameter
$λ=2$, vi ønsker at bestemme sandsynligheden for at x=1.
$$P(X=1)=\frac{e^{-λ}⋅λ^{x}}{x!}=\frac{e^{-2}⋅2^{1}}{1!}=0{,}2707$$
2. Vi skal finde sandsynligheden, for der netop ankommer 10 kunder
på 10 minutter. Her er tale om en poissonfordeling med parameter
$λ=20$. Vi skal jo betragte 10 minutters intervallet, derfor ganger
vi
intensiteten for 1 minut
$λ=2$ med 10, hvilket giver $λ=20$.
Vi ønsker at bestemme sandsynligheden for at x=10.
$$P(X=10)=\frac{e^{-λ}⋅λ^{x}}{x!}=\frac{e^{-20}⋅20^{10}}{10!}=0{,}0058$$
3. Vi kan bestemme sandsynligheden for der mindst ankommer 1 kunde i
minuttet ved:
$$P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0{,}1353=0{,}8647$$