8. 2 andele

Konfidensinterval for 2 andele

Vi ser igen på MobilePay-undersøgelsen, hvor 31 ud af 100 brugte MobilePay. Vi har desuden en 1 år gammel undersøgelse, hvor man havde spurgt 200 respondenter om de bruger MobilePay, af disse svarede 45, at de bruger MobilePay.

Vi så tidligere, hvordan vi udregner konfidensintervallerKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
for andele. Vi finder, at der i den nyeste undersøgelse med 95% sikkerhed er mellem 22% og 40% i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
, der i dag bruger MobilePay.
Tilsvarende kan vi sige, at andelen af MobilePay-brugere i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
med 95% sikkerhed tidligere lå mellem 17% og 28%. Det kan umiddelbart være lidt svært at afgøre om forskellen er signifikant.
Hvis vi ønsker at undersøge om der er en signifikant forskel i andelen af brugere, kan vi se på konfidensintervalletKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
for forskellen mellem andelene. Vi kan med 95% sikkerhed sige at forskellen i populationensPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
andele er mellem -0,02 og 0,19

Vi kan i software beregne dette, vi undlader formlen og udregningen her.

Output fra fanen andele i FREESTAT er vist herunder, bemærk vi skriver kun i de hvide felter. Nederst til højre ses konfidensintervalletKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
for forskelle i andele:

Vi sammenligner altså de 2 andele og betragter et konfidensintervalKonfidensintervallet beregnes ud fra en stikprøve, og angiver nedre og øvre grænser indenfor hvilke populations parameteren, ligger med en vis sandsynlighed.
Er 95% konfidensintervallet for mænds gennemsnitlige højde fx. 172 cm. og 182 cm. kan vi sige:
Vi kan med 95% sandsynlighed sige den gennemsnitlige højde for mænd i populationen, ligger mellem 172 cm. og 182 cm.
Jo større stikprøve og jo lavere sikkerhed (konfidensniveau), jo mere præcist bliver vore konfidensinterval (interval estimatet), dvs intervallet bliver smallere.
Vi kan beregne konfidensintervaller for parametre vi estimerer, fx. gennemsnittet, standardafvigelsen, andelen etc.
I modsætning til et punktestimat for fx. middelværdien, fortæller konfidensintervallet os noget om kvaliteten af vort estimat/gæt, ud fra bredden af konfidensintervallet.

Klik her for at lære mere om konfidensintervallet!
for differencen mellem disse. Hvis 0 er indeholdt i dette interval som her, er der ikke signifikant forskel på andelene. Det er altså en mulighed, at forskellen mellem MobilePay-brugere før og nu er 0, hvilket er det samme som ingen forskel på andelene.
Vi kan altså ikke konkludere, at der er statistisk signifikant forskel på andelen af MobilePay-brugere før og nu.

Hypotesetests 2 andele

I den nye undersøgelse så vi at 31 ud af 100 bruger MobilePay, mod tidligere 45 ud af 200. Er der forskel på de 2 andele?

Da vi spørger om der er forskel svarer dette til operatoren ≠. Vi kan skrive hypotesetestetEt hypotese test, tester en nulhypotese H₀ (grundtroen), mod en alternativ hypotese H₁ (det modsatte udsagn af nulhypotesen).
Man tester om nulhypotesen kan forkastes eller ikke forkastes.
Da nulhypotesen er udgangspunktet (grundtroen), skal der en del beviser til, for at vi forkaster/afviser nulhypotesen.
Vi har 3 kategorier af hypotese test, se eksemplerne herunder:
Hypotese test med to-sidet alternativ hypotese:
H₀: μ=34
H₁: μ≠34
Vi forkaster H₀ både hvis μ er signifikant større eller mindre end 34

Hypotese test med et-sidet alternativ hypotese opad:
H₀: μ≤34
H₁: μ>34
Vi forkaster kun H₀ hvis μ er signifikant større end 34

Hypotese test med et-sidet alternativ hypotese nedad:
H₀: μ≥34
H₁: μ<34
Vi forkaster kun H₀ hvis μ er signifikant mindre end 34

Klik her for at lære mere om hypotese tests! som:
$$H_{0}:p_{nu}=p_{før}$$ $$H_{1}:p_{nu}\neqp_{før}$$ eller som det er formuleret i Freestat: $$H_{0}:p_{nu}-p_{før}=D$$ $$H_{1}:p_{nu}-p_{før}\neqD$$ D står for difference, denne er som udgangspunkt 0. Hvis man skriver fx. 3 i det gule felt, sættes D=3. Man tester så om en forskel er større end 3 procentpoint. Husk altid at slette data i det gule felt, da man ellers kan nå den forkerte konklusion.

Da signifikanssandsynligheden/p-værdien 0,1105 er større end signifikansniveauetSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! 5%, kan vi ikke forkaste nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!.

Vi konkluderer andelen af MobilePay-brugere før og nu ikke er forskellig.

I nedenstående output fra Freestat når vi samme konklusion, her benytter vi testet med den tosidede alternativhypotese hvor: $$p_{nu}=p_{1}$$ $$p_{før}=p_{2}$$

Bemærk ved tests af 2 andele, med ensidet alternativhypotese, er det vigtigt at holde styr på, hvad man vælger som stikprøve En stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver! 1 og stikprøve En stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver! 2.

Samme metode kan bruges til at A/B-teste to ML-modelversioner i produktion, fx ved at undersøge om der er en signifikant forskel i konverterings- eller misligholdelsesraten mellem de to versioner.

Eksempel Utroskab og køn

Hent Datasættet Fairs Affairs til videoen ovenfor

Test om mænd er mere utro end kvinder?

Her skal vi først filtrere data på køn, for hhv. mænd og kvinder skal vi herefter bestemme andelen af utro.

78 ud af i alt 286 mænd er utro, andelen af utro mænd i stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
er altså 0,2727.

72 ud af i alt 315 kvinder er utro, andelen af utro kvinder i stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
er altså 0,2286.

Der er forskel på andelene i stikprøverneEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
, men betyder dette at der er en signifikant forskel på andelene i populationernePopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
?

Hypoteserne bliver

$$H_{0}:p_{mand}\leqp_{kvinde}$$ $$H_{1}:p_{mand}>p_{kvinde}$$

eller som det er formuleret i Freestat:

$$H_{0}:p_{mand}-p_{kvinde}\leq0$$ $$H_{1}:p_{mand}-p_{kvinde}>0$$

Vi har altså sat

$$p_{mand}=p_{1}$$ $$p_{kvinde}=p_{2}$$

P-værdienp-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier! bliver 0,1058, hvilket er større end 5%, vi kan altså ikke forkaste nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!. Vi konkluderer at mænd ikke er signifikant mere utro end kvinder i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
. Vi har dog en p-værdip-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier! der er tæt på 10%, så det er ikke en meget sikker konklusion.

Nedenfor ses output fra Freestat:

Eksempel Utroskab og religiøsitet

Hent Datasættet Fairs Affairs til videoen ovenfor

Vi definerer nu meget religiøse, som folk med religiousness større end 3. Er mindre religiøse, mere utro end religiøse?

341 er mindre religiøse, ud af disse er 104 utro.

260 er meget religiøse, ud af disse er 46 utro.

Vore hypoteser bliver:

$$H_0:p_{Mindre\ religiøse}\le p_{Meget\ religiøse}$$ $$H_1:p_{Mindre\ religiøse}>p_{Meget\ religiøse}$$

Vi finder her en signifikanssandsynlighedSignifikanssandsynligheden også kaldet p-værdien er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen

Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om signifikanssandsynligheder! på 0,0163%, dette er en meget lille signifikanssandsynlighedSignifikanssandsynligheden også kaldet p-værdien er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen

Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om signifikanssandsynligheder!, der er mindre end 5% signifikansniveauetSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet!, så vi forkaster klart nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!.

Mindre Religiøse personer er altså mere utro end religiøse.

Quiz

Quiz Test af 2 andele

Selvtest

Selvtest 2 andele med videoløsning.

Spørgsmål

Vi ser igen på data om utroskab, Fairs Affairs.
Er der forskel på andelen af utro mænd og kvinder, bestem konfidensintervaller på 90% og 95% signifikansniveau?

Forskellen i andelene af utro kvinder og mænd ligger med 95% sikkerhed mellem -0,03 og 0,11, en signifikant forskel kan således ikke påvises ved 5% signifikansniveau. Det er dog tæt på, vi vil når vi begynder at teste, se at denne konklusion er tæt på at være niveaufølsom. Andelen af utro mænd, ligger på 27,27%, og andelen af kvinder er 22,86%.

Benytter vi i stedet et 90% konfidensniveau, får vi Forskellen i andelene af utro kvinder og mænd ligger med 90% sikkerhed mellem -0,01 og 0,1, det er nu tættere på at forskellen er signifikant.

Bankdata. Er der forskel på andelen af mænd og kvinder i ledelse (manage), bestem konfidensintervaller på 5% og 1% signifikansniveau?

I populationen ligger forskellen i andelene af kvinder og mænd i ledelse med 95% sikkerhed mellem 0,18 og 0,3, der er altså signifikant forskel ved 5% signifikansniveau. Andelen af mænd i ledelse, ligger på 28,68% og andelen af kvinder i ledelse ligger på 4,63%.

I populationen ligger forskellen i andelene af kvinder og mænd i ledelse med 99% sikkerhed mellem 0,16 og 0,32, der er altså signifikant forskel ved 1% signifikansniveau. Andelen af mænd i ledelse, ligger på 28,68% er altså helt sikkert større end andelen af kvinder i ledelse ligger på 4,63%.

Et forsikringsselskab ønsker at undersøge om andelen af anmeldelser af oversvømmede kældre er steget i 2021 er steget i forhold til en lignende undersøgelse i 2017. Man har i 2021 undersøgt 309 forsikringstagere med kælder, af disse har 43 anmeldt vandskader.
Tidligere i 2017 har man konstateret at i en stikprøve på 350 forsikringstagere, havde 35 Beskadigede kældre.

1. Er der forskel på andelen af anmeldte skader?
2. Er forudsætningerne for testet opfyldt?
3. Er antallet af anmeldte skader steget fra 2017 til 2021?
4. Er antallet af anmeldte skader steget fra 2017 til 2021, hvis vi tester på 10% signifikansniveau?

1. Er der forskel på andelen af anmeldte skader?

Vi opstiller hypoteserne:

$$H_{0}:p_{2021}=p_{2017}$$ $$H_{1}:p_{2021}\neqp_{2017}$$

Da p værdien/signifikanssandsynligheden 0,1204 er større end 0,05 signifikansniveauet, kan vi ikke afvise nulhypotesen. Det vil sige andelen af anmeldte skader er ikke ændret fra 2017 til 2021. Bemærk vi tester to-sidet, da spørgsmålet er om andelen er ændret.

2. Er forudsætningerne for testet opfyldt?

Da $n⋅\hat{p}⋅(1-\hat{p})$ klart er større end 9 for begge stikprøver nemlig 37,02 og 31,5, er stikprøverne tilstrækkeligt store til at forudsætningerne er opfyldt. 3. Er antallet af anmeldte skader steget fra 2017 til 2021?
Bemærk vi tester med en-sidet alternativhypotese, da spørgsmålet er om andelen er steget. Da vi vælger at sætte 2021 stikprøven som stikprøve 1 og 2017 stikprøven som stikprøve 2, bliver testet ensidet opad. Vi skal jo undersøge om $p_{2021}$ er større end $p_{2017}$.
Vi skal teste med ensidet alternativhypotese opad. Hypoteserne i testet bliver derfor: $$H_{0}:p_{2021}\leqp_{2017}$$ $$H_{1}:p_{2021}>p_{2017}$$ Da p værdien/signifikanssandsynligheden 0,0602 er større end 0,05 signifikansniveauet, kan vi ikke afvise nulhypotesen. Andelen af anmeldte skader er alså ikke steget. Dog er konklusionen niveaufølsom.

2016 8 Eksamen Statistik opgave 2

Nykøbing Bank er et mindre pengeinstitut med en stærk position i sit lokalområde. I Nykøbing Bank arbejder man med et rating-system af privatkunderne. Kunderne inddeles i risikogrupper efter deres risikoprofil på en skala fra 1 til 14. Et lavt antal point i rating-systemet betyder, at kunden har lav risiko for ikke at kunne overholde sine forpligtelser. I bedømmelsen af dine svar bliver der lagt vægt på, at du argumenterer for dine valg af løsningsmetoder, undersøger om eventuelle forudsætninger er opfyldt samt fortolker dine resultater.

Opgave 2 (30 %)
Nykøbing Bank er bekymret for kundernes overtræk. I 2015 foretog banken en analyse, hvor man i en stikprøve på 75 kunder registrerede 26 kunder med overtræk.

Spørgsmål 2,1 (10 %)
Du bedes beregne et punktestimat og et 95 % konfidensinterval for andelen af bankens kunder, der havde overtræk i 2015.
Spørgsmål 2,2 (10 %)
Ved hjælp at en test på 5 % testniveau bedes du undersøge, om andelen af kunder med overtræk var større end 25 % i 2015.
Spørgsmål 2,3 (10 %)
Banken har en formodning om, at andelen af kunder med overtræk er faldet siden 2015. Anvend resultaterne i den vedlagte stikprøve fra maj 2016 til at teste på 5 % testniveau, om banken har ret i denne formodning.

Du finder hele opgaver i linket: 2016 8 Eksamen Statistik Opgave

2016 8 Eksamen Statistik data

2016 8 Eksamen Statistik opg 2 LØSNING

Opgave 4 (10 %) Det er mange år siden bankens markedschef har beskæftiget sig med statistik. Han beder dig derfor forklare nogle begreber. Spørgsmål 4,1 (5 %) Forklar forskellen på et punktestimat og et konfidensinterval. Forklar endvidere formålet med at beregne et konfidensinterval. Spørgsmål 4,2 (5 %) Hvilken betydning har testniveauet for konklusionen i en hypotesetest? Hvilken betydning har stikprøvens størrelse for p-værdien, når der udarbejdes en hypotesetest?
Du finder hele opgaver i linket:

2016 8 Eksamen Statistik OPGAVE
2016 8 Eksamen Statistik DATA

2016 8 Eksamen Statistik opg 4 LØSNING

Opgave 1 (50%)

Det første din chef vil have dig til at undersøge er den gennemsnitlige forsikringspræmie, og da det er målet at tilbyde prisbillige forsikringer til unge bilister, skal den gennemsnitlige forsikringspræmie være under kr. 6.000. Til det formål er der fortaget en stikprøveundersøgelse blandt Safe Cars kunder. Stikprøven er udtaget tilfældigt, og resultatet ses i datasættet i Excelarket.

1,1 (5%)
Undersøg om forsikringspræmierne for år 2016 er normalfordelte.
1,2 (10%) Test på 5% niveau, hvorvidt Safe Car lever op til målet om at den gennemsnitlige forsikringspræmie er lavere end kr. 6.000.
Hvor sikre kan vi være på din konklusion?

1,3 (10%)

Beregn et 99% konfidensinterval for den gennemsnitlige forsikringspræmie for år 2016. Hvor anvendeligt er dette interval?
1,4 (5%)
Hvor stor skal stikprøven være, for at der maksimalt er kr. 100 mellem nedre og øvre grænse i 99% konfidensintervallet for den gennemsnitlige forsikringspræmie beregnet i 1,3?
Foruden kravet om lave forsikringspræmier har Safe Car har en politik om, at variansen for præmierne ikke må blive for stor. Der er således en målsætning om, at variansen for forsikringspræmierne skal være kr. 250.000.

1,5 (10%)
Test på 5% niveau hvorvidt den sande varians for forsikringspræmierne er lig med kr. 250.000. - Hvor sikre kan vi være på din konklusion?
Safe Car har også interne regler der siger, at andelen af kunder der har en forsikringspræmie over kr. 5800 maksimalt må udgøre en tredjedel.

1,6 (10%)
Beregn et 95% konfidensinterval for andelen af kunder der betaler mere end kr. 5800 i forsikringspræmie.
Hvor anvendeligt er dette interval?

Du finder hele opgaver i linket:

2017 3 Eksamen Statistik Opgave

2017 3 Eksamen Statistik data

2017 3 Eksamen Statistik opg 1 LØSNING

Opgave 3 (20%) Hos Safe Car har man foruden fokus på billige forsikringspræmier også fokus på andelen af skader for forskellige aldersgrupper, og derfor har Safe Car for nylig lavet en analyse på baggrund af en tilfældigt udvalgt stikprøve på 175 personer blandt selskabets unge kunderne. Resultatet ses i dataarket under fane 2:

3,1 (10%) Test på 5% niveau om andelen af personer som har lavet en stor skade er mindre end 65% for den yngste aldersgruppe.
Safe Car er ligeledes interesseret i at finde ud af, om der er forskel mellem aldersgrupper

3,2 (10%)
Test på 5% om andelen af personer, der laver en stor skade, er større blandt de 18-19 årige end blandt de 22-23 årige.
Du finder hele opgaver i linket:

2017 3 Eksamen Statistik Opgave

2017 3 Eksamen Statistik data

2017 3 Eksamen Statistik opg 3 LØSNING