6. Hypotesetest middelværdi

Hypotesetest tosidet alternativhypotese

Vi kan ud fra en stikprøve En stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver! udtale os om, hvad den sande middelværdi μ i populationen er. I eksemplet med mægleren tidligere, var den gennemsnitlige afstand til nærmeste filial 748 meter, standardafvigelsen 102 meter og stikprøvestørrelsen 200.

Mægleren mener, den sande afstand til nærmeste filial i gennemsnit er 730 meter. Kan dette være korrekt? Hypotesen bliver:

$$H_{0}:\mu=730$$ $$H_{1}:\mu\neq730$$

Påstanden i nulhypotesen $H_{0}$ er vores udgangspunkt, noget vi på forhånd mener er korrekt. Der skal meget til, før vi forkaster nulhypotesen og dermed konkluderer, at udsagnet i alternativhypotesen $H_{1}$ er korrekt. Alternativhypotesen $H_{1}$ er altid det komplementære udsagn til nulhypotesen, dvs. når nulhypotesen er $=$ bliver alternativhypotesen $\neq$.

Signifikansniveau

SignifikansniveauetSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! α angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese, ofte sættes dette til 5%. Det betyder, at i 1 ud af 20 tilfælde, vil vi komme til at forkaste nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!, til trods for at denne var sand. Vi udtager stikprøverEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
simpelt tilfældigt fra populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
, enkelte af disse vil give et forkert billede af virkeligheden. Ønsker man yderligere sikkerhed, for ikke at forkaste en sand nulhypotese, kan man sætte signifikansniveauetSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! til 1%, så vil man kun i 1 ud af 100 tilfælde forkaste en korrekt nulhypotese.

I medicinalindustrien bruger man typisk 1% signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! for at sikre at et produkt har en effekt. Hypoteserne ville da være.

$H_{0}:$ produktet har ingen effekt
$H_{1}:$ produktet har effekt

Man ville således kun i 1 ud af 100 tilfælde fejlagtigt konkludere, at et produkt har effekt. SignifikansniveauetSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! α betegner sandsynligheden for at begå en type 1 fejl. En type 1 fejl er altså sandsynligheden for at forkaste en nulhypotese der er sand.

KonfidensniveauetKonfidensniveauet 1-α angiver sandsynligheden for ikke at forkaste en sand nulhypotese dvs. korrekt beslutning.
Man kan bestemme konfidensniveauet som 1-α dvs. 1 minus signifikansniveauet.
Dvs. summen af signifikansniveauet og konfidensniveauet giver altid 1 eller 100%

Klik her for at lære mere om konfidensniveauet! angiver sandsynligheden for at ikke forkaste en sand nulhypotese, summen af konfidensniveauKonfidensniveauet 1-α angiver sandsynligheden for ikke at forkaste en sand nulhypotese dvs. korrekt beslutning.
Man kan bestemme konfidensniveauet som 1-α dvs. 1 minus signifikansniveauet.
Dvs. summen af signifikansniveauet og konfidensniveauet giver altid 1 eller 100%

Klik her for at lære mere om konfidensniveauet! og signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! er således 100%. 5% signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! svarer til 95% konfidensniveauKonfidensniveauet 1-α angiver sandsynligheden for ikke at forkaste en sand nulhypotese dvs. korrekt beslutning.
Man kan bestemme konfidensniveauet som 1-α dvs. 1 minus signifikansniveauet.
Dvs. summen af signifikansniveauet og konfidensniveauet giver altid 1 eller 100%

Klik her for at lære mere om konfidensniveauet!, 1% signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! svarer til 99% konfidensniveauKonfidensniveauet 1-α angiver sandsynligheden for ikke at forkaste en sand nulhypotese dvs. korrekt beslutning.
Man kan bestemme konfidensniveauet som 1-α dvs. 1 minus signifikansniveauet.
Dvs. summen af signifikansniveauet og konfidensniveauet giver altid 1 eller 100%

Klik her for at lære mere om konfidensniveauet!. De gængse signifikansniveauerSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! er 1%, 5% og 10%. Er intet angivet, tester vi på 5% signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet!, man beslutter sig inden testet for hvilket signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! man sætter.

Teststørrelse

Vi kalder hypoteseværdien $\mu_{0}=730$, vores teststørrelse bliver:

$$\frac{\hat{\mu}-\mu_{0}}{SEM}=\frac{748-730}{\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}}=\frac{18}{\frac{102}{\sqrt{200}}}=\frac{18}{7{,}2125}=2{,}4957$$

Hvor vi fra stikprøven, har gennemsnittet $\hat{\mu}$ 748 meter, standardafvigelsen i stikprøven $\hat{\sigma}$ 102 meter og stikprøvestørrelsen 200. Teststørrelser er et centralt begreb i hypotesetests, tælleren 748-730, er et mål for hvor stor forskellen er mellem det vi har observeret i stikprøven 748, og den værdi vi antager under nulhypotesen 730. Der gælder for alle typer af tests, at store teststørrelser er kritiske for nulhypotesen. Store teststørrelser betyder vi ikke tror på nulhypotesen. I dette tilfælde er nulhypotesen, at afstanden til nærmeste filial er 730 meter. Hvornår er en teststørrelse så stor? Det afhænger af testtypen og stikprøvestørrelsen. Her er der tale om et tosidet (da alternativhypotesen er ≠) t-test, det betyder at numerisk store teststørrelser er kritiske. Havde vi fx observeret afstanden til nærmeste filial var 700 meter, var tælleren 700-730 blevet negativ, da nævneren altid er positiv ville teststørrelsen blive negativ. Var afstanden kun 700 meter i stikprøven, ville vi ikke tro på at afstanden i populationen er 730 meter. Når vi tester tosidet er meget negative eller positive teststørrelser kritiske for nulhypotesen, dvs. når teststørrelsen numerisk bliver stor, tror vi ikke på nulhypotesen. Da vi ser på en t-test, afhænger fraktilerne af antallet af frihedsgrader og signifikansniveauet. Når vi har en stor stikprøve på 5% signifikansniveau, vil værdier mindre end -1,96 eller større end 1,96 være kritiske for nulhypotesen. Her er stikprøvestørrelsen 200, dvs. vi benytter t-fordelingen med 199 frihedsgrader, hvilket gør at de kritiske værdier bliver -1,97 og 1,97. I teststørrelsen dividerer vi med standardfejlen SEM, dette er for at skalere teststørrelsen korrekt, så den altid er i en skala, der svarer til t-fordelingen. Havde vi fx målt afstanden til nærmeste filial i centimeter, ville tælleren blive 74800-73000=1800, vi korrigerer for skala ved at dividere med SEM, skalerer vi så teststørrelsen bliver den samme uanset om vi måler i meter eller centimeter.

Signifikanssandsynlighed p-værdi

SignifikanssandsynlighedenSignifikanssandsynligheden også kaldet p-værdien er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen

Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om signifikanssandsynligheder!, også kaldet p-værdienp-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier!, angiver sandsynligheden for at få en mere ekstrem teststørrelseTeststørrelsen kan populært forklares, som forskellen mellem observeret i stikprøven og forventet under nulhypotesen.

Teststørrelsen er et udtryk for forskellen mellem fx. gennemsnit, andel eller antal i stikprøven i forhold til påstanden i nulhypotesen H₀.
Teststørrelsen korrigerer for stikprøvestørrelse og standardafvigelse, men beregnes forskelligt afhængigt af hvilket test der udføres.
Testes fx. middelværdi μ eller eller hældning i lineær regression β, benyttes t-teststørrelsen
Testes andele kan fx. z-teststørrelsen benyttes
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, 176,32-210 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM
Ønskede at teste om middel højden i populationen, kunne antages at være 150 cm ud fra samme stikprøve ville vi få en meget positiv teststørrelse, 176,32-150 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM

Klik her for at lære mere om teststørrelser!, hvis vi udtager en ny tilsvarende stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
, når nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! er sand. I mægler-eksemplet er p-værdienp-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier! lille 0,0134, der er kun 1,34% chance for at få en teststørrelseTeststørrelsen kan populært forklares, som forskellen mellem observeret i stikprøven og forventet under nulhypotesen.

Teststørrelsen er et udtryk for forskellen mellem fx. gennemsnit, andel eller antal i stikprøven i forhold til påstanden i nulhypotesen H₀.
Teststørrelsen korrigerer for stikprøvestørrelse og standardafvigelse, men beregnes forskelligt afhængigt af hvilket test der udføres.
Testes fx. middelværdi μ eller eller hældning i lineær regression β, benyttes t-teststørrelsen
Testes andele kan fx. z-teststørrelsen benyttes
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, 176,32-210 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM
Ønskede at teste om middel højden i populationen, kunne antages at være 150 cm ud fra samme stikprøve ville vi få en meget positiv teststørrelse, 176,32-150 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM

Klik her for at lære mere om teststørrelser! der numerisk er større end 2,4957, hvis vi udtog en ny stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
på 200, hvis nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! er sand. Da 1,34% er mindre end 5%, tror vi ikke på nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! om at der gennemsnitligt er 730 meter til nærmeste filial. Vi beregner p-værdienp-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier! ved arealet af halen, der skæres af ved teststørrelsenTeststørrelsen kan populært forklares, som forskellen mellem observeret i stikprøven og forventet under nulhypotesen.

Teststørrelsen er et udtryk for forskellen mellem fx. gennemsnit, andel eller antal i stikprøven i forhold til påstanden i nulhypotesen H₀.
Teststørrelsen korrigerer for stikprøvestørrelse og standardafvigelse, men beregnes forskelligt afhængigt af hvilket test der udføres.
Testes fx. middelværdi μ eller eller hældning i lineær regression β, benyttes t-teststørrelsen
Testes andele kan fx. z-teststørrelsen benyttes
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, 176,32-210 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM
Ønskede at teste om middel højden i populationen, kunne antages at være 150 cm ud fra samme stikprøve ville vi få en meget positiv teststørrelse, 176,32-150 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM

Klik her for at lære mere om teststørrelser! eller teststørrelsenTeststørrelsen kan populært forklares, som forskellen mellem observeret i stikprøven og forventet under nulhypotesen.

Teststørrelsen er et udtryk for forskellen mellem fx. gennemsnit, andel eller antal i stikprøven i forhold til påstanden i nulhypotesen H₀.
Teststørrelsen korrigerer for stikprøvestørrelse og standardafvigelse, men beregnes forskelligt afhængigt af hvilket test der udføres.
Testes fx. middelværdi μ eller eller hældning i lineær regression β, benyttes t-teststørrelsen
Testes andele kan fx. z-teststørrelsen benyttes
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, 176,32-210 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM
Ønskede at teste om middel højden i populationen, kunne antages at være 150 cm ud fra samme stikprøve ville vi få en meget positiv teststørrelse, 176,32-150 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM

Klik her for at lære mere om teststørrelser! numerisk. Arealet ved højre hale, der skæres af 2,4957 er 0,0067, arealet ved venstre hale, der skæres af -2,4957 er ligeledes 0,0067. Når vi tester 2-sidet lægger vi begge halearealer sammen og får 0,0067+0,0067=0,0134, hvilket er p-værdienp-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier!.

Nedenstående figurer viser en p-værdip-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier! på 0,0134. Vi forkaster altså nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! på 5% signifikansniveauetSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet!.

Den sande afstand til nærmeste filial, er altså forskellig fra 730 meter. At afstanden er større end 730 meter, kan vi konstatere, da p-værdienp-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier! 0,0067 er mindre end signifikansniveauetSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet!.

Figur 6.1: Acceptområde for tosidet t-test (α = 5%): afvis ikke H₀ når t ligger mellem ±1,97. Observeret t = 2,4957 ligger i højre afvisområde — vi forkaster nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!.
Kilde: Egen tilvirkning.

Figur 6.2: To-sidet p-værdip-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier! for mægler-eksemplet: begge haler uden for ±2,4957 summerer til ≈ 0,0134.
Kilde: Egen tilvirkning.

Hvis vi ser på teststørrelser i stedet for afstanden i meter, har vi beregnet denne til 2,4957 svarende til de 748 meter, da alternativhypotesen Alternativhypotesen H₁ eller H_a er vores det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! er forskellig fra, skal vi se på både venstre og højre hale. Vi skal beregne sandsynligheden (p-værdien) for at få en mere ekstrem teststørrelse, det betyder her en teststørrelse mindre end -2,4957 og større end 2,4957, når nulhypotesen om at afstanden er 730 meter er sand. At teststørrelsen er mindre end -2,4957, svarer oversat til meter, at afstanden er mindre end 712 meter, sandsynligheden for en numerisk mere ekstrem teststørrelse bliver arealet af begge haler 0,0067+0,0067=0,0134.

Vi kan benytte fanen 1 kvantitativ stikprøveEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
beregnede data i venstre side. Her skal vi benytte testen med to-sidet alternativhypotese.

Vi siger, at ovenstående konklusion er niveaufølsom, vi ville ikke have forkastet på 1% signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet!, da 1% er mindre end p-værdienp-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier! på 1,34%. At konklusionen er niveaufølsom, betyder altså, at forskellige signifikansniveauerSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! giver forskellige konklusioner.

Hvis vi kender populationensPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
standardafvigelse σ, eller vi har store stikprøverEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
, kan vi benytte z-fordelingenz-fordelingen (kaldes også standard normalfordelingen) er normalfordelingen med middelværdi μ = 0 og standardafvigelse σ = 1.
Historisk har man benyttet transformation af normalfordelinger til z-fordelingen, for derefter at bestemmme sandsynligheder ud fra tabelopslag.
Med computere er tabelopslag ikke længere nødvendige, hvorfor z-fordelingens ikke længere har samme vigtighed.

Klik her for at lære mere om z-fordelingen!, til beregning af signifikanssandsynlighederSignifikanssandsynligheden også kaldet p-værdien er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen

Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om signifikanssandsynligheder!. Software benytter ofte konsekvent t-fordelingent-fordelingen bruges i statistik når vi estimerer standardafvigelsen baseret på en stikprøve, vi bruger t-fordelingen til at beregne konfidensintervaller og hypoteseteste.
Udseendet af t-fordelingen bestemmes ud fra antal frihedsgrader, den ligner standard normalfordelingen altså normalfordelingen der har middel 0 og standardafvigelse 1, bare med federe haler. Når antal frihedsgrader stiger approximerer (tilnærmer sig) t-fordelingen z-fordelingen.

Klik her for at lære mere om t-fordelingen!, der approksimerer z-fordelingenz-fordelingen (kaldes også standard normalfordelingen) er normalfordelingen med middelværdi μ = 0 og standardafvigelse σ = 1.
Historisk har man benyttet transformation af normalfordelinger til z-fordelingen, for derefter at bestemmme sandsynligheder ud fra tabelopslag.
Med computere er tabelopslag ikke længere nødvendige, hvorfor z-fordelingens ikke længere har samme vigtighed.

Klik her for at lære mere om z-fordelingen!, når antallet af frihedsgraderFrihedsgrader angiver, løst formuleret uden detaljer, antallet af værdier, der frit kan variere i beregningen af teststørrelsen.
Antallet af frihedsgrader bestemmer udseendet af fordelingen, t-, F- og Χ²-fordelinger bestemmes ud fra antallet af frihedsgrader.
Antallet af frihedsgrader for t-fordelingen bestemmes ved antallet af observationer i stikprøven minus 1, når antal frihedsgrader stiger approximerer t-fordelingen standard normalfordelingen.
Antallet af frihedsgrader for Χ²-fordelingen bestemmes ved (række-kategorier minus en) gange (søjle-kategorier minus en), når antal frihedsgrader stiger approximerer Χ²-fordelingen normalfordelingen.

Klik her for at lære mere om frihedsgrader! vokser. Jo større stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
er, jo mindre forskel vil der være mellem de to metoder. Vi kan for små stikprøverEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
benytte t-fordelingent-fordelingen bruges i statistik når vi estimerer standardafvigelsen baseret på en stikprøve, vi bruger t-fordelingen til at beregne konfidensintervaller og hypoteseteste.
Udseendet af t-fordelingen bestemmes ud fra antal frihedsgrader, den ligner standard normalfordelingen altså normalfordelingen der har middel 0 og standardafvigelse 1, bare med federe haler. Når antal frihedsgrader stiger approximerer (tilnærmer sig) t-fordelingen z-fordelingen.

Klik her for at lære mere om t-fordelingen!, hvis stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
stammer fra en normalfordelt populationPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
. I Freestat benyttes kun t-fordelingent-fordelingen bruges i statistik når vi estimerer standardafvigelsen baseret på en stikprøve, vi bruger t-fordelingen til at beregne konfidensintervaller og hypoteseteste.
Udseendet af t-fordelingen bestemmes ud fra antal frihedsgrader, den ligner standard normalfordelingen altså normalfordelingen der har middel 0 og standardafvigelse 1, bare med federe haler. Når antal frihedsgrader stiger approximerer (tilnærmer sig) t-fordelingen z-fordelingen.

Klik her for at lære mere om t-fordelingen! da vi forudsætter at populationsvariansenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
er ukendt.

Tosidet alternativhypotese og konfidensintervallet.

Når vi tester med tosidet alternativhypotese, kan vi bruge konfidensintervallet svarende til signifikansniveauet til at afgøre om en nulhypotese forkastes. Ligger parameterestimatet $\hat{\mu}$ indenfor konfidensintervallets nedre og øvre grænse, kan vi ikke forkaste nulhypotesen, ligger det udenfor forkaster vi nulhypotesen. Denne metode er dog ikke så præcis som testet, hvor vi finder størrelsen af p-værdien. Ud fra størrelsen af p-værdien, kan vi afgøre hvor sikker vores konklusion er.

Ensidet alternativhypotese

Ovenfor undersøgte vi om den sande afstand til nærmeste filial i gennemsnit er 730 meter mod alternativhypotesenAlternativhypotesen H₁ eller H_a er det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! den sande afstand til nærmeste filial i gennemsnit er forskellig fra 730 meter. Vi kunne fx. være interesseret i:

Afstanden til nærmeste filial er mindst 730 meter mod alternativhypotesenAlternativhypotesen H₁ eller H_a er det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! at afstanden til nærmeste filial er mindre end 730 meter.
Afstanden til nærmeste filial er højst 730 meter mod alternativhypotesenAlternativhypotesen H₁ eller H_a er det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! at afstanden til nærmeste filial er større end 730 meter.

I formuleringen af spørgsmålet der stilles, ligger nøglen til hvilken type test vi bruger, nedenfor er et skema over de ord man oplever i formuleringen af et spørgsmål, disse skal benyttes til at afgøre om det er den ene eller anden hypotese vi skal benytte. Bemærk når man opstiller en konkret hypotese vil $\mu_{0}$ blive skiftet ud med den mulige middelværdi i populationen man ønsker at teste:

Ord	Operator	Hypotese	Passer med
Er, kan være	=	$H_{0}:\mu=\mu_{0}$	$H_{1}:\mu\neq\mu_{0}$
Er ikke, er forskellig fra	$\neq$	$H_{1}:\mu\neq\mu_{0}$	$H_{0}:\mu=\mu_{0}$
Højst, maksimum	$\leq$	$H_{0}:\mu\leq\mu_{0}$	$H_{1}:\mu>\mu_{0}$
Større end, over	$>$	$H_{1}:\mu>\mu_{0}$	$H_{0}:\mu\leq\mu_{0}$
Mindst, minimum	$\geq$	$H_{0}:\mu\geq\mu_{0}$	$H_{1}:\mu<\mu_{0}$
Mindre end, under	$<$	$H_{1}:\mu<\mu_{0}$	$H_{0}:\mu\geq\mu_{0}$

Tabel 6.1: Opslagsskema over ord i en problemformulering og den hypotese (nulhypotese og alternativhypotese), de svarer til.
Kilde: Egen tilvirkning.

Ensidet alternativhypotese opad

Vi kan eksempelvis spørge på følgende måder og komme til samme konklusion:

Afstanden til nærmeste filial er højst 730 meter
Afstanden til nærmeste filial er større end 730 meter I 1. får vi givet nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! da lighedstegnet ALTID skal i nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!, alternativhypotesenAlternativhypotesen H₁ eller H_a er det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! AlternativhypotesenAlternativhypotesen H₁ eller H_a er det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! H₁ eller H_a er vores det modsatte udsagn af nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! i et hypotesetestEt hypotese test, tester en nulhypotese H₀ (grundtroen), mod en alternativ hypotese H₁ (det modsatte udsagn af nulhypotesen).
Man tester om nulhypotesen kan forkastes eller ikke forkastes.
Da nulhypotesen er udgangspunktet (grundtroen), skal der en del beviser til, for at vi forkaster/afviser nulhypotesen.
Vi har 3 kategorier af hypotese test, se eksemplerne herunder:
Hypotese test med to-sidet alternativ hypotese:
H₀: μ=34
H₁: μ≠34
Vi forkaster H₀ både hvis μ er signifikant større eller mindre end 34

Hypotese test med et-sidet alternativ hypotese opad:
H₀: μ≤34
H₁: μ>34
Vi forkaster kun H₀ hvis μ er signifikant større end 34

Hypotese test med et-sidet alternativ hypotese nedad:
H₀: μ≥34
H₁: μ<34
Vi forkaster kun H₀ hvis μ er signifikant mindre end 34

Klik her for at lære mere om hypotese tests!, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesenAlternativhypotesen H₁ eller H_a er det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesenAlternativhypotesen H₁ eller H_a er det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! følger som det komplementære udsagn. I 2. får vi givet alternativhypotesenAlternativhypotesen H₁ eller H_a er det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! da udsagnet ikke indeholder lig med, nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! følger som det komplementære udsagn.

$$H_{0}:\mu\leq730$$ $$H_{1}:\mu>730$$

Hvilket betyder vi skal benytte den 2. af de 3 testmuligheder i Freestat output, dvs. signifikanssandsynligheden bliver 0,67%, vi forkaster altså nulhypotesen. Vi konkluderer derfor at $\mu>730$. Den gennemsnitlige afstand til nærmeste filial i populationen er altså større end 730 meter. p-værdien er illustreret i figuren nedenfor, som den hvide højre hale.

Hvis vi her ser på teststørrelser i stedet for afstanden i meter, har vi beregnet denne til 2,4957 svarende til de 748 meter, da alternativhypotesen Alternativhypotesen H₁ eller H_a er vores det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! er større end, skal vi se på højre hale. Vi skal beregne sandsynligheden (p-værdien ) for at få en mere ekstrem teststørrelse, det betyder her en teststørrelse større end 2,4957, når nulhypotesen om at afstanden er 730 meter er sand. At teststørrelsen er større end 2,4957, svarer oversat til meter, til at afstanden er større end 748 meter, sandsynligheden for en mere ekstrem teststørrelse bliver arealet højre hale 0,0067 altså p-værdien.

Figur 6.3: Ensidet test opad: p-værdienp-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier! er kun højre hale uden for t = 2,4957 (≈ 0,0067).
Kilde: Egen tilvirkning.

Ensidet alternativhypotese nedad

Vi viser her testet for ensidet alternativhypoteseEnsidet alternativhypotese H₁ betyder vi tester ikke med tosidet alternativ hypotese ≠, vi tester enten < eller >.
Eksempler på ensidede alternativhypoteser er:
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)
Hvilket vil føre til 2 mulige tests:
Enten ensidet nedad, vi forkaster nulhypotesen hvis middelværdien er signifikant mindre end 45:
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
Eller ensidet opad, vi forkaster nulhypotesen hvis middelværdien er signifikant større end 45:
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)

H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! nedad. Der er ingen grund til at teste her, vi ved der skal meget til at forkaste nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!, og vi har et stikprøvegennemsnitEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
, der er større end 730. Vi vil derfor helt sikkert finde, at nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! om at afstanden til nærmeste filial er mindst 730 meter, ikke kan forkastes. Vi viser alligevel eksemplet med samme værdier, for at man kan se hvorledes sammenhængen er mellem de 3 typer af tests.

Afstanden til nærmeste filial er mindst 730 meter
Afstanden til nærmeste filial er mindre end 730 meter I 1 får vi givet nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!, da lighedstegnet ALTID skal i nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!, alternativhypotesenAlternativhypotesen H₁ eller H_a er det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! AlternativhypotesenAlternativhypotesen H₁ eller H_a er det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! H₁ eller H_a er vores det modsatte udsagn af nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! i et hypotesetestEt hypotese test, tester en nulhypotese H₀ (grundtroen), mod en alternativ hypotese H₁ (det modsatte udsagn af nulhypotesen).
Man tester om nulhypotesen kan forkastes eller ikke forkastes.
Da nulhypotesen er udgangspunktet (grundtroen), skal der en del beviser til, for at vi forkaster/afviser nulhypotesen.
Vi har 3 kategorier af hypotese test, se eksemplerne herunder:
Hypotese test med to-sidet alternativ hypotese:
H₀: μ=34
H₁: μ≠34
Vi forkaster H₀ både hvis μ er signifikant større eller mindre end 34

Hypotese test med et-sidet alternativ hypotese opad:
H₀: μ≤34
H₁: μ>34
Vi forkaster kun H₀ hvis μ er signifikant større end 34

Hypotese test med et-sidet alternativ hypotese nedad:
H₀: μ≥34
H₁: μ<34
Vi forkaster kun H₀ hvis μ er signifikant mindre end 34

Klik her for at lære mere om hypotese tests!, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesenAlternativhypotesen H₁ eller H_a er det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesenAlternativhypotesen H₁ eller H_a er det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! følger som det komplementære udsagn. I 2 får vi givet alternativhypotesenAlternativhypotesen H₁ eller H_a er det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!, da udsagnet ikke indeholder lig med, nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! følger som det komplementære udsagn.

$$H_{0}:\mu\geq730$$ $$H_{1}:\mu<730$$

Hvilket betyder vi skal benytte den 3. af de 3 testmuligheder i Freestat output, dvs. signifikanssandsynligheden bliver 99,33%, vi forkaster altså IKKE nulhypotesen. Vi konkluderer derfor at $\mu\geq730$. Den gennemsnitlige afstand til nærmeste filial i populationen er altså mindst 730 meter. p-værdien er illustreret i figuren nedenfor, som den store grå venstre hale.

Hvis vi ser på teststørrelsen har vi beregnet denne til 2,4957, da alternativhypotesen Alternativhypotesen H₁ eller H_a er vores det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! er mindre end, skal vi se på venstre hale. Vi skal beregne sandsynligheden (p-værdien ) for at få en mere ekstrem teststørrelse, det betyder her en teststørrelse mindre end 2,4957, når nulhypotesen om at afstanden er mindst 730 meter er sand. At teststørrelsen er mindre end 2,4957, svarer oversat til meter at afstanden er mindre end 748 meter, sandsynligheden for dette er meget høj nemlig 99,33%. Dette svarer til den grå venstre hale, vi er altså meget langt fra 5% signifikansniveauet og forkaster ikke nulhypotesen.

Figur 6.4: Ensidet test nedad: p-værdienp-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier! er den store venstre region under t = 2,4957 (≈ 99,33 %).
Kilde: Egen tilvirkning.

Eksempel Finansøkonom karakterer

Datasæt finansøkonom karakterer

I datasættet ovenfor findes 57 karakterer fra 1. Interne eksamen på finansøkonomstudiet. Man kan med rette diskutere om karakterer for specifikke klasser/undervisere/lokationer etc. er repræsentative for populationen. Her antager vi at stikprøven er repræsentativ. Det er ligeledes tvivlsomt om vi kan behandle karakterer som en kontinuert variabel, der er tale om en kvalitativ En kvalitativ variabel, er typisk en ikke numerisk variabel, hvor vi ikke kan beregne gennemsnit, fraktiler osv., her giver det kun mening at beregne andele fx.
Hvilket kæledyr har du?
{hund, kat, hund, kat, hund, marsvinkat,...}
Hvilket parti vil du stemme på?
{Socialdemokratiet, Konservative, Venstre, Venstre, Radikale,... etc.}
Hvad er din primære bankforbindelse?
{Danske Bank, Nordea, Jyske Bank,...}

Klik her for at lære mere om kvalitative variable! ordinal variabel. I uddannelsesmæssige sammenhænge behandles karakterer som en kontinuert variabel, der beregnes gennemsnit og standardafvigelser, derfor forudsætter vi her variablen er kontinuert.

Vi finder parameterestimatet dvs. stikprøvegennemsnittet som: $$ \hat{\mu}=6,51 $$ parameterestimatet for standardafvigelsen altså standardafvigelsen i stikprøven bliver: $$ \hat{\sigma}=3,72 $$

Vi ønsker nu at undersøge om gennemsnittet i populationen, kan antages at ligge præcis mellem 4 og 7 dvs. 5,5. Vi tester på 5% signifikansniveau. Det betyder vores $\mu_{0}=5{,}5$
Hypoteserne bliver:

$$H_{0}:\mu=5{,}5$$ $$H_{1}:\mu\neq5{,}5$$

TeststørrelsenTeststørrelsen kan populært forklares, som forskellen mellem observeret i stikprøven og forventet under nulhypotesen.

Teststørrelsen er et udtryk for forskellen mellem fx. gennemsnit, andel eller antal i stikprøven i forhold til påstanden i nulhypotesen H₀.
Teststørrelsen korrigerer for stikprøvestørrelse og standardafvigelse, men beregnes forskelligt afhængigt af hvilket test der udføres.
Testes fx. middelværdi μ eller eller hældning i lineær regression β, benyttes t-teststørrelsen
Testes andele kan fx. z-teststørrelsen benyttes
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, 176,32-210 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM
Ønskede at teste om middel højden i populationen, kunne antages at være 150 cm ud fra samme stikprøve ville vi få en meget positiv teststørrelse, 176,32-150 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM

Klik her for at lære mere om teststørrelser! bliver 2,0456. Vi kan nu bestemme p-værdienp-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier!, arealet af de 2 haler i t-fordelingent-fordelingen bruges i statistik når vi estimerer standardafvigelsen baseret på en stikprøve, vi bruger t-fordelingen til at beregne konfidensintervaller og hypoteseteste.
Udseendet af t-fordelingen bestemmes ud fra antal frihedsgrader, den ligner standard normalfordelingen altså normalfordelingen der har middel 0 og standardafvigelse 1, bare med federe haler. Når antal frihedsgrader stiger approximerer (tilnærmer sig) t-fordelingen z-fordelingen.

Klik her for at lære mere om t-fordelingen! med 56 frihedsgraderFrihedsgrader angiver, løst formuleret uden detaljer, antallet af værdier, der frit kan variere i beregningen af teststørrelsen.
Antallet af frihedsgrader bestemmer udseendet af fordelingen, t-, F- og Χ²-fordelinger bestemmes ud fra antallet af frihedsgrader.
Antallet af frihedsgrader for t-fordelingen bestemmes ved antallet af observationer i stikprøven minus 1, når antal frihedsgrader stiger approximerer t-fordelingen standard normalfordelingen.
Antallet af frihedsgrader for Χ²-fordelingen bestemmes ved (række-kategorier minus en) gange (søjle-kategorier minus en), når antal frihedsgrader stiger approximerer Χ²-fordelingen normalfordelingen.

Klik her for at lære mere om frihedsgrader! bliver 4,55%, da p-værdienp-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier! er mindre end 5%, må vi altså forkaste nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!.

Vi konkluderer altså gennemsnittet i populationenPopulationen er den store mængde, vi ønsker at udtale os om. Fx alle iphone brugere i København, alle kontohavere i Danske Bank, alle danske kvinder etc.
Vi bruger som redskab stikprøver som er en lille del af populationen til at udtale os om populationen, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om populationen!
IKKE er 5,5. Bemærk dog at konklusionen er niveaufølsom, havde vi testet på 1% signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! kunne vi ikke forkaste nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!.

Standardafvigelse test

FPC endelig populations korrektion og z-test

Type 1 og type 2 fejl

Hvis man forkaster en sand nulhypotese, kaldes det en type 1 fejl, det betyder, at nulhypotesen er sand, men vi forkaster fejlagtigt nulhypotesen, dette kaldes en falsk positiv. Man kan tænke på nulhypotesen som den generelle opfattelse, alternativhypotesen Alternativhypotesen H₁ eller H_a er vores det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! er den nye tanke/revolutionen der går imod den gængse opfattelse. Vi kan forestille os følgende eksempler på nulhypoteser:

En mand anklaget for mord er uskyldig.
Du har ikke kræft.
Der findes ikke liv på Mars.
Omsætningen er ikke steget.
Udgifterne er uændrede.
Jorden er flad (i meget gamle dage).
Jorden er rund (nu).
Du er ikke gravid.
Medicinen har ingen effekt

Vi kan bestemme sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese, type 1 fejlen falsk positiv, det er vores signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! α, tilsvarende er sandsynligheden for ikke at forkaste en sand nulhypotese 1−α. Dvs. når vi tester på 5% signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet!, vil vi 1 ud af 20 gange (5%) begå en type 1 fejl. I medicinalindustrien skal man være helt sikker på, at et nyt produkt har en effekt, derfor tester man ofte på 1% signifikansniveauSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! (100%-1% = 99% konfidensniveauKonfidensniveauet 1-α angiver sandsynligheden for ikke at forkaste en sand nulhypotese dvs. korrekt beslutning.
Man kan bestemme konfidensniveauet som 1-α dvs. 1 minus signifikansniveauet.
Dvs. summen af signifikansniveauet og konfidensniveauet giver altid 1 eller 100%

Klik her for at lære mere om konfidensniveauet! ). Dette betyder at man kun 1 ud af 100 gange begår en type 1 fejl og konkluderer et medicinalprodukt har en effekt selv om det i virkeligheden ingen effekt har. Type 1 fejl er ofte noget, vi meget gerne vil undgå. Vi kan for statistiske hypoteser styre hvor ofte der begås fejl vha. signifikansniveauetSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet!, men tankegangen gælder også når vi ikke statistisk kan måle p-værdienp-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier!. Hvis nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! er en mand anklaget for mord er uskyldig, svarer en type 1 fejl til at begå justitsmord, derfor skal beviserne i straffesager være stærke for at sikre domsfældelse. Hvis omsætningen ikke er steget, men vi konkluderer den er steget er der tale om en type 1 fejl.

En type 2 fejl kaldes en falsk negativ, sandsynligheden for at begå en type 2 fejl kan ikke beregnes direkte. En skyldig mand der frikendes, er en type 2 fejl. Hvis omsætningen er steget, men vi konkluderer den ikke er steget, er der ligeledes tale om en type 2 fejl.

	$H_{0} Sand$	$H_{0} Falsk$
Forkast ikke $H_{0}$	Korrekt beslutning	Type 2 fejl, falsk negativ
Forkast $H_{0}$	Type 1 fejl falsk positiv	Korrekt beslutning

Tabel 6.2: Beslutningsmatrice for hypotesetestEt hypotese test, tester en nulhypotese H₀ (grundtroen), mod en alternativ hypotese H₁ (det modsatte udsagn af nulhypotesen).
Man tester om nulhypotesen kan forkastes eller ikke forkastes.
Da nulhypotesen er udgangspunktet (grundtroen), skal der en del beviser til, for at vi forkaster/afviser nulhypotesen.
Vi har 3 kategorier af hypotese test, se eksemplerne herunder:
Hypotese test med to-sidet alternativ hypotese:
H₀: μ=34
H₁: μ≠34
Vi forkaster H₀ både hvis μ er signifikant større eller mindre end 34

Hypotese test med et-sidet alternativ hypotese opad:
H₀: μ≤34
H₁: μ>34
Vi forkaster kun H₀ hvis μ er signifikant større end 34

Hypotese test med et-sidet alternativ hypotese nedad:
H₀: μ≥34
H₁: μ<34
Vi forkaster kun H₀ hvis μ er signifikant mindre end 34

Klik her for at lære mere om hypotese tests!: korrekte beslutninger samt type 1-fejl (falsk positiv) og type 2-fejl (falsk negativ) afhængigt af om nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! reelt er sand eller falsk.
Kilde: Egen tilvirkning.

Samme tankegang genfindes i kreditscoring og svindeldetektion: en type 1 fejl svarer her til at afvise en god kunde (falsk positiv), mens en type 2 fejl svarer til at godkende en dårlig kunde (falsk negativ).

Quiz

Quiz hypoteser Quiz hypotesetests

Selvtest

Selvtest konfidensinterval og middelværdi med videoløsning

Spørgsmål

Vi har en indsamlet data for 78 brugte Tesla Model Y'er til salg, gennemsnitsprisen for de 78 biler er 397.200,- DKK, standardafvigelsen er 28.234 DKK

1. Test på 5% signifikansniveau om den gennemsnitlige brugtvognspris for en brugt Tesla Model Y i populationen kan antages at være mindre end 400.000,-

2. Test på 5% signifikansniveau om standardafvigelsen σ i populationen antages at være 25.000,-

Vi har ikke rådata for de 78 brugte Teslaer, vi har kun fået oplyst de udregnede deskriptorer, derfor må vi i stedet benytte beregnede data i Freestat fanen Middelværdi standardafvigelse.

1. Hypoteserne bliver:

$$H_0:\mu \geq 400.000,-$$ $$H_1:\mu < 400.000,-$$

Da p værdien/signifikanssandsynligheden 19,19% er større end 5% signifikansniveauet, kan vi ikke forkaste nulhypotesen. Det betyder den gennemsnitlige brugtvognspris mindst er 400.000,- for en Tesla Model Y. En gennemsnitlig pris i stikprøven på 397.200,-, giver os altså ikke et statistisk grundlag for at forkaste nulhypotesen.

2. Hypoteserne bliver:

$$H_0:\sigma = 25.000,-$$ $$H_1:\sigma \ne 25.000,-$$

Da p-værdien /signifikanssandsynligheden 10,39% er større end 5% signifikansniveauet, kan vi ikke afvise nulhypotesen. Det betyder standardafvigelsen σ er 25.000,- DKK.

Vi kan ligeledes se på data for bankansatte betragt variablen gennemsnitligt antal års uddannelse EDUCATION. Datasættet kan hentes her bankdata

1. Er det gennemsnitlige antal års uddannelse i populationen 13 år?

2. Er standardafvigelsen i populationen mindre end 3 år?

1. Hypoteserne bliver:

$$H_{0}:\mu=13$$ $$H_{1}:\mu\neq13$$

Da p værdien/signifikanssandsynligheden 0,02% er mindre end 5% signifikansniveauet, afviser vi nulhypotesen. Det gennemsnitlige antal års uddannelse i populationen altså ikke 13 år.

1. Hypoteserne bliver:

$$H_{0}:\sigma\geq3$$ $$H_{1}:\sigma<3$$

Da p værdien/signifikanssandsynligheden 12,17% er større end 5% signifikansniveauet, kan vi ikke afvise nulhypotesen, standardafvigelsen er altså mindst 3 i populationen.

Hvad bliver parameterestimatet for middelværdien for variablen egenkapital?
Hvad bliver parameterestimatet for standardafvigelsen for variablen egenkapital?
Hvad bliver standardfejlen for middelværdien (engelsk standard error of the mean SEM eller SE) for variablen egenkapital?
Når vi skal finde nedre og øvre grænser for et 95% konfidensinterval vha. z-fordelingen ganger vi med faktoren 1,96. Her har vi imidlertid ukendt standardafvigelse for populationen, derfor benytter vi t-fordelingen. I dette tilfælde er antallet af frihedsgrader n-1 = 369 - 1 = 368, faktoren bliver 1,9664 næsten det samme for z-fordelingen. Hvad bliver nedre og øvre grænser for 95% konfidensintervallet, for den gennemsnitlige egenkapital for virksomheder i populationen?
Hvad bliver parameterestimatet for standardafvigelsen for variablen egenkapital?
Hvad bliver nedre og øvre grænse for 95% konfidensintervallet for standardafvigelsen for variablen egenkapital?

1. Parameterestimatet for middelværdien for variablen egenkapital, udregnes som gennemsnittet af stikprøven: $$\hat{\mu}=\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{369}=155327{,}97$$ Resultatet står som stikprøve-gennemsnit i output fra Freestat herunder.

2. Parameterestimatet for standardafvigelsen for variablen egenkapital findes som $$\hat{\sigma}=S=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}}{n-1}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{368}=676727{,}53$$ Resultatet står som standardafvigelse spredning i Freestat herunder 676727,53. Husk vi korrigerer ved at fratrække 1 fra stikprøvestørrelsen i nævneren dvs. n-1.

3. Standardfejlen for middelværdien kan udregnes som $$SEM=\sigma_{\overline{X}}=\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}=35229{,}03$$ Resultatet står som standardfejl middel i Freestat herunder.

4. Grænserne for 95% konfidenintervallet for middelværdien i populationen, kan udregnes til: $$\hat{\mu}-1{,}966431⋅\sigma_{\overline{X}}=155327{,}97-1{,}966431⋅35229{,}03=86052{,}51$$ og $$\hat{\mu}+1{,}966431⋅\sigma_{\overline{X}}=155327{,}97+1{,}966431⋅35229{,}03=224603{,}43$$
5. Parameterestimatet for standardafvigelsen $\hat{\sigma}$ bliver 676727,53

6. Nedre og øvre grænse for 95% konfidensintervallet for standardafvigelsen bliver hhv. 631170,46 og 729427,12

Herunder ses det output man ville generere i Freestat Deskriptiv statistik.

I linket her er filen VIRKSOMHEDER-DK, der viser data for 369 danske virksomheder med ekstern revision. Der er således en overvægt af virksomheder af en vis størrelse, hvorfor samtlige beløb er angivet i antal 1000 DKK. For at benytte stikprøven til at udtale sig om populationen, forudsættes det at denne er simpelt tilfældigt udtrukket fra populationen. Besvar følgende spørgsmål for variablen årets resultat i antal 1000 DKK.

1. Hvad bliver parameterestimatet for middelværdien for variablen årets resultat?
2. Hvad bliver parameterestimatet for standardafvigelsen for variablen årets resultat?
3. Hvad bliver standardfejlen for middelværdien (engelsk standard error of the mean SEM eller SE) for variablen årets resultat?
4. Når vi skal finde nedre og øvre grænser for et 95% konfidensinterval vha. z-fordelingen ganger vi med faktoren 1,96. Her har vi imidlertid ukendt standardafvigelse for populationen, derfor benytter vi t-fordelingen. I dette tilfælde er antallet af frihedsgrader n - 1 = 369 - 1 = 368, faktoren bliver 1,9664 næsten det samme for z-fordelingen. Hvad bliver nedre og øvre grænser for 95% konfidensintervallet, for den gennemsnitlige egenkapital for virksomheder i populationen?
5. Hvad bliver parameterestimatet for standardafvigelsen for variablen årets resultat?
6. Hvad bliver nedre og øvre grænse for 95% konfidensintervallet for standardafvigelsen?

1. Parameterestimatet for middelværdien for variablen årets resultat, udregnes som gennemsnittet af stikprøven $$\hat{\mu}=\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{369}=39733{,}96$$ Resultatet står som stikprøve gennemsnit i output fra Freestat herunder.
2. Parameterestimatet for standardafvigelsen for variablen årets resultat findes som: $$\hat{\sigma}=S=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}}{n-1}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{368}=374398{,}75$$ Resultatet står som standardafvigelse spredning i Freestat herunder 374398,75. Husk vi korrigerer ved at fratrække 1 fra stikprøvestørrelsen i nævneren dvs. n-1.
3. Standardfejlen for middelværdien kan udregnes som: $$SEM=\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{374398{,}75}{\sqrt{369}}=19490{,}42$$ Resultatet står som standardfejl middel i Freestat herunder.
4. Grænserne for 95% konfidensintervallet for middelværdien i populationen, kan udregnes til: $$\hat{\mu}-1{,}966431⋅\sigma_{\overline{X}}=39733{,}96-1{,}966431⋅19490{,}42=1407{,}39$$ og $$\hat{\mu}+1{,}966431⋅\sigma_{\overline{X}}=39733{,}96+1{,}966431⋅19490{,}42=78060{,}53$$
5. Parameterestimatet for standardafvigelsen $\hat{\sigma}$ bliver 374398,75
6. Nedre og øvre grænse for 95% konfidensintervallet for standardafvigelsen bliver hhv. 349194,35 og 403554,74 i antal 1000 DKK.

Herunder ses det output man ville generere i Freestat Deskriptiv statistik:

1. Hvilken type variabel er variablen Omsætning?
2. Hvad bliver standardfejlen?
3. Hvad bliver 95% konfidensintervallet for den gennemsnitlige omsætning i populationen?
4. Ville vi kunne afvise en antagelse om at den gennemsnitlige omsætning i populationen kunne være 500.000.000 DKK, dvs. en halv mia. DKK, på et 5% signifikansniveau?
Hvorledes ville hypoteserne for et test af denne påstand se ud?
5. Ville vi kunne afvise en antagelse om at den gennemsnitlige omsætning i populationen kunne være 600.000.000 DKK på et 5% signifikansniveau?
Hvorledes ville et hypoteserne for et test af denne påstand se ud?
6. Ville vi kunne afvise en antagelse om at den gennemsnitlige omsætning i populationen kunne være 700.000.000 DKK, på et 5% signifikansniveau?
Hvorledes ville et hypoteserne for et test af denne påstand se ud?
7. Har de 3 tests ensidede eller tosidede alternativhypoteser, eller et mix af disse?
8. Hvad bliver 90% konfidensintervallet for den gennemsnitlige omsætning i populationen?
Er dette konfidensinterval smallere eller bredere end 95% konfidensintervallet?
9. En revisionsteam har en begrundet formodning om at den gennemsnitlige omsætning i populationen kan antages at være 250 mio. DKK. Opstil hypoteser og undersøg på 5% signifikansniveau, om denne påstand kan antages at være korrekt, bestem herunder signifikanssandsynligheden og hold denne op mod signifikansniveauet.
10. Kunne revisorteamet ud fra teststørrelsen afgøre at man ikke kunne forkaste nulhypotesen?
11. Test på 10% signifikansniveau, om den gennemsnitlige omsætning i populationen kan antages at være 250 mio. DKK, bestem herunder signifikanssandsynligheden og hold denne op mod signifikansniveauet.
12. Er konklusionen niveaufølsom?
13. Test om den gennemsnitlige omsætning i populationen er højst 250 mio. DKK?
14. Test på 1% signifikansniveau om den gennemsnitlige omsætning i populationen er højst 250 mio. DKK?
15. Test om den gennemsnitlige omsætning i populationen er mindst 600 mio. DKK?
16. Test på 1% signifikansniveau om den gennemsnitlige omsætning i populationen er mindst 600 mio. DKK?

Herunder ses histogrammet for omsætning for de danske virksomheder, vi kan af histogrammet se at fordelingen er stærkt højreskæv og leptokurtisk. Der er endnu tydeligere outliers end for variablen egenkapital, dvs kæmpe virksomheder med høj omsætning.

1. Variablen Omsætning er en kvanitativ, kontinuert variabel, ratioskala, vi kan således benytte fanen 1 kvantitativ stikprøve i Freestat.

2. Standardfejlen for middelværdien bliver $$SEM=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1.829.195.752}{\sqrt{369}}=95.224.127$$ DDK eller ca. 95 mio.

3. Vi kan med 95% sikkerhed sige at den gennemsnitlige omsætning i populationen ligger mellem 240.136 og 614.639 1.000 DKK. Dette er et meget stort spænd fra ca 240 til 615 mio. DKK. Dette skyldes den store variation i data, hvilket øger standardfejlen som påvirker grænserne i konfidensintervallet. Nedre grænse findes fx. som:
$$427.387.680-1{,}9664⋅95.224.127$$ Den typiske afvigelse fra middelværdien er da også 1.829.196 1000 DKK, altså næsten 2 mia DKK i datafordelingen. Herunder ses output fra Freestat, bemærk vi sætter signifikansniveauet i den hvide celle til 5% for at ændre konfidensniveauet til 95%.

4. Nej, da den gennemsnitlige omsætning i populationen med 95% sikkerhed ligger mellem 240 til 615 mio. DKK, og 500 mio. DKK er indeholdt i dette interval. Kan vi ikke afvise en antagelse om at den gennemsnitlige omsætning skulle være 500 mio. DKK.

Hypoteserne ville være:

$$H_{0}:\mu=500 mio.$$ $$H_{1}:\mu\neq500 mio.$$

Vi kan således ikke forkaste nulhypotesen, og konkluderer den gennemsnitlige omsætning i populationen kan antages at være 500 mio.

5. Nej, da den gennemsnitlige omsætning i populationen med 95% sikkerhed ligger mellem 240 til 615 mio. DKK, og 600 mio. DKK er indeholdt i dette interval, kan vi ikke afvise en antagelse om at den gennemsnitlige omsætning skulle være 600 mio. DKK.

Hypoteserne ville være:

$$H_{0}:\mu=600 mio.$$ $$H_{1}:\mu\neq600 mio.$$

Vi kan således ikke forkaste nulhypotesen, og konkluderer den gennemsnitlige omsætning i populationen kan antages at være 600 mio.

6. Ja, da den gennemsnitlige omsætning i populationen med 95% sikkerhed ligger mellem 240 til 615 mio. DKK, kan vi afvise en antagelse om at den gennemsnitlige omsætning skulle være 700 mio. DKK.

Hypoteserne ville være:

$$H_{0}:\mu=700 mio.$$ $$H_{1}:\mu\neq700 mio$$

Vi forkaster nulhypotesen, og konkluderer den gennemsnitlige omsætning i populationen, ikke kan antages at være 700 mio.

7. Alle tre tests har tosidede alternativhypoteser, alle tre indeholder forskellig fra operatoren ≠

8. Vi kan med 90% sikkerhed sige at den gennemsnitlige omsætning i populationen ligger mellem 270.363 og 584.413 1.000 DKK. Dette konfideninterval er altså smallere end 95% konfidensintervallet, hvilket giver god mening nu har hver hale 5% af sandsynligheden mod 2,5% før. Vi er jo også kun 90% sikre på at μ ligger i intervallet. Ønsker man smallere konfidensinterval øget præcision, uden at øge stikprøvestørrelsen kan man således slække på konfidensniveauet. Herunder ses output fra Freestat, bemærk vi ændrer signifikansniveauet i den hvide celle til 10% for at ændre konfidensniveauet til 90%.

9. Testet bliver:

$$H_{0}:\mu=250 mio.$$ $$H_{1}:\mu\neq250 mio.$$

Af nedenstående output fra Freestat ses at p-værdien bliver 6,33%, hvilket lige er større end 5% signifikansniveauet. Vi kan altså ikke forkaste nulhypotesen. Vi kan ikke afvise revisorteamets påstand om at den gennemsnitlige omsætning er 250 mio. DKK. Bemærk husk at sætte de hvide felter, signifikansniveau til 5% og Test middel af populationen til 250000 1000 DKK.

10 Ja, da alternativhypotesen Alternativhypotesen H₁ eller H_a er vores det modsatte udsagn af nulhypotesen i et hypotesetest, vi har aldrig lighedstegn i alternativhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen, sker dette tror vi på udsagnet i alternativhypotesen.
Eksempler på alternativhypoteser er:
H₁: μ≠45 (Middelværdien er ikke 45)
H₁: μ<45 (Middelværdien er mindre end 45)
H₁: μ>45 (Middelværdien er større end 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! er tosidet skal teststørrelsen ligge mellem -1,9664 og 1,9664 svarende til 2,5% og 97,5% fraktilerne for t-fordelingen med 368 frihedsgrader. Man kan se den numeriske værdi af disse i Excel med kommandoen =TINV(5%;368). Teststørrelsen er angivet i Freestat til 1,8628 denne er således ikke så stor at det er kritisk for nulhypotesen, men teststørrelsen er dog tæt på den øvre grænse, hvilket tydeligere illustreres af at p-værdien er tæt på 5%.

11 Testet bliver:

$$H_{0}:\mu=250 mio.$$ $$H_{1}:\mu\neq250 mio.$$

Af ovenstående output fra Freestat ses at p-værdien bliver 6,33%, hvilket er mindre end 10% signifikansniveauet. Vi må forkaste nulhypotesen. Vi afviser revisorteamets påstand om at den gennemsnitlige omsætning er 250 mio. DKK. Bemærk husk at sætte de hvide felter, signifikansniveau til 10% og Test middel af populationen til 250000 1000 DKK.

12 Ja konklusionen er niveaufølsom, p-værdien betyder vi forkaster nulhypotesen på 10% signifikansniveau, men ikke på 5% signifikansniveau.

13. Vi kan oversætte højst til symbolet ≤ da symbolet indeholder lighedstegn, skal det i nulhypotesen. Da signifikansniveauet ikke er angivet tester vi på 5% signifikansniveau.

Testet bliver:

$$H_{0}:\mu\leq250 mio.$$ $$H_{1}:\mu>250 mio.$$

Af output fra Freestat under svar 11 test nr. 2, ses at p-værdien bliver 3,16%, hvilket er mindre end 5% signifikansniveauet. Vi må forkaste nulhypotesen. Vi afviser nulhypotesen om at den gennemsnitlige omsætning er højst 250 mio. DKK. Vi konkluderer at den gennemsnitlige omsætning er signifikant større end 250 mio. DKK.

14. Testet bliver ligesom i 13 igen:

$$H_{0}:\mu\leq250 mio.$$ $$H_{1}:\mu>250 mio.$$

Af output fra Freestat ses som før at p-værdien bliver 3,16%, hvilket er større end 1% signifikansniveauet . Vi kan ikke forkaste nulhypotesen. Vi kan ikke afvise nulhypotesen om at den gennemsnitlige omsætning er højst 250 mio. DKK. Vi konkluderer at den gennemsnitlige omsætning er højst end 250 mio. DKK. Når vi har 1% signifikansniveau, skal her mere til at vi forkaster nulhypotesen, p-værdien skal være mindre end 1% i modsætning til før hvor p-værdien skulle være mindre end 5%.
15. Vi kan oversætte mindst til symbolet ≥ da symbolet indeholder lighedstegn, skal det i nulhypotesen. Da signifikansniveauet ikke er angivet tester vi på 5% signifikansniveau.

Testet bliver:

$$H_{0}:\mu\geq600 mio.$$ $$H_{1}:\mu<600 mio.$$

Vi får følgende output fra Freestat:

Vi får en p-værdi på 3,53%, hvilket er mindre end 5% signifikansniveauet. Vi kan altså afvise nulhypotesen om at den gennemsnitlige omsætning er mindst 600 mio. DKK.

16. Testet bliver ligesom i 15 igen:

$$H_{0}:\mu\geq600 mio.$$ $$H_{1}:\mu<600 mio.$$

Af output fra Freestat under svar 15 test nr. 3, ses at p-værdien bliver 3,53%, hvilket er større end 1% signifikansniveauet. Vi kan altså ikke forkaste nulhypotesen. Vi konkluderer at den gennemsnitlige omsætning er mindst 600 mio. DKK. Når vi har 1% signifikansniveau, skal her mere til at vi forkaster nulhypotesen, halen bliver jo mindre. Konklusionen er niveaufølsom.

ABC-Bank, som er en større udenlandsk bank, overvejer at etablere sig i Danmark. Men ABC-Bank har indtryk af, at det danske bankmarked er kendetegnet ved relativt mange filialer og bankansatte i forhold til antallet af kunder. Inden den endelige beslutning træffes, ønsker ABC- Banks bestyrelse derfor en analyse af bankmarkedet Danmark.

Man tilfældigt udvalgt 24 danske banker og undersøgt følgende:

1. Antal nye kunder i 3. kvartal 2014 - Netto tilgang af kunder i kvartalet.

2. Antal medarbejdere pr. 1.000 kunder - Gennemsnitligt antal fuldtidsansatte delt med samlet antal privat- og erhvervskunder målt i tusinder. Tallene stammer fra de 24 bankers årsrapporter 2013.

3. Rente på en almindelig indlånskonto - Bankens annoncerede indlånsrente på en anfordringskonto ved udgangen af 3. kvartal 2014.

4. Rente på boliglån - Bankens annoncerede rente på boliglån ved udgangen af 3. kvartal 2014.

5. Har banken samarbejde med en ejendomsmægler/mæglerkæde - 0 angiver ikke samarbejde 1 angiver samarbejde

Resultaterne af ABC-Banks dataindsamling vises i 2015 Januar Data.xlsx. Du bedes med udgangspunkt i disse resultater besvare nedenstående opgaver.

I bedømmelsen bliver der lagt vægt på, at du argumenterer for dine valg af løsningsmetoder, undersøger om eventuelle forudsætninger er opfyldt samt fortolker dine resultater.

Opgave 2

På ABC-Banks hjemmemarked har banken 4,9 ansatte pr. 1.000 kunder. Bestyrelsen vil gerne have undersøgt, om der virkelig er flere ansatte pr. 1.000 kunder i danske banker.

Spørgsmål 2,1 (10 %)

Du bedes teste på 5 % signifikansniveau om det gennemsnitlige antal ansatte pr. 1.000 kunder er over 4,9 i danske banker.

Forskellen på kundesammensætningen i filialerne påvirker behovet for ansatte i forhold til antal kunder. Bestyrelsen i ABC-Bank vil gerne vide, hvor stor variation der er i antal ansatte pr. 1.000 kunder.

Spørgsmål 2,2 (10 %)

Du bedes derfor udarbejde et 95 % konfidensinterval for standardafvigelsen for antal ansatte pr. 1.000 kunder i de danske banker.

Opgave 2,1

Bemærk da antallet af observationer i stikprøven er mindre end 30 skal vi sikre os at data er approximativt Approximativt betyder nogenlunde eller cirka.
Hvis en fordeling er nogenlunde normalfordelt, skriver vi fordelingen er approximativt normalfordelt normalfordelte. Dette afgøres vha. QQ plot, hvor vi ser at observationerne ligger nogenlunde på en ret linje.

Vi indsætter data i Freestat i fanen 1 kvantitativ stikprøve :

Af teksten ses:

“der virkelig er flere ansatte pr. 1.000 kunder”

Vi ved således vi skal benytte større end >, symbolet er uden lighedstegn dette hører derfor til i alternativhypotesen. Altså skal vi benytte ≤ i nulhypotesen. Testet bliver således:

$$H_{0}:\mu\leq4{,}9$$ $$H_{1}:\mu>4{,}9$$

Da signifikanssandsynligheden /p-værdien er 0,0077 mindre end signifikansniveauet 5% forkaster vi nulhypotesen.

Antal ansatte pr. 1000 kunder er altså større end 4,9.

Opgave 2,2

Vi kan med 95% sikkerhed sige at standardafvigelsen i populationen ligger mellem 0,3500 og 0,6317

I datasættet USA aktier findes månedlige aktieafkast i %, fra 5 store amerikanske virksomheder siden år 2000. Virksomhederne er Coca Cola, Bank of America, JP Morgan Chase, Microsoft og Kellogs den sidste variabel US portefølje er en portefølje bestående at 20% af hver af disse 5 aktier. Vi forudsætter at stikprøven er repræsentativ for populationen. Angiv korte præcise svar, angiv hypoteser, p-værdier teknisk og ikke-teknisk konklusion hvor det er relevant.

Angiv 95% konfidensintervallet for middelværdien for Bank of America og for US porteføljen.
Angiv 95% konfidensintervallet for standardafvigelsen for Bank of America og for US porteføljen.
Angiv mindste og største månedlige afkast for Bank of America og for US porteføljen.
Test om det gennemsnitlige afkast for Bank of America er mindst 1%?
Test om det gennemsnitlige afkast for US porteføljen er mindst 1%?
Undersøg om vi kan være sikre på (5% signifikansniveau), at det gennemsnitlige afkast for Bank of America er større end 0%?
Undersøg om vi kan være sikre på (5% signifikansniveau ), at det gennemsnitlige afkast for US porteføljen er større end 0%?
Test på 1% signifikansniveau om standardafvigelsen er højst 5% for Bank of America afkastet.
på 1% signifikansniveau om standardafvigelsen er højst 5% for US portefølje afkastet.

Ville du helst investere i US porteføljen eller en af aktierne i dag?
Giv en kort begrundelse.

Du kan se en videogennemgang af opgaven her

Du kan hente løsningen til opgaven hent hent USA aktier løsning

6. Hypotesetest middelværdi

Hypotesetest tosidet alternativhypotese

Signifikansniveau

Teststørrelse

Signifikanssandsynlighed p-værdi

Tosidet alternativhypotese og konfidensintervallet.

Ensidet alternativhypotese

Ensidet alternativhypotese opad

Ensidet alternativhypotese nedad

Eksempel Finansøkonom karakterer

Standardafvigelse test

FPC endelig populations korrektion og z-test

Type 1 og type 2 fejl

Quiz

Selvtest

Spørgsmål

Du har nu adgang