17. Chi i anden tests

Goodness of fit test

Goodness of fit er en udvidelse af z-testet for en andel. Med test af andele kan man fx. undersøge om andelen af mænd er 60% og kvinder 40% i en population, vi tester altså fordelingen for en kvalitativ En kvalitativ variabel, er typisk en ikke numerisk variabel, hvor vi ikke kan beregne gennemsnit, fraktiler osv., her giver det kun mening at beregne andele fx.
Hvilket kæledyr har du?
{hund, kat, hund, kat, hund, marsvinkat,...}
Hvilket parti vil du stemme på?
{Socialdemokratiet, Konservative, Venstre, Venstre, Radikale,... etc.}
Hvad er din primære bankforbindelse?
{Danske Bank, Nordea, Jyske Bank,...}

Klik her for at lære mere om kvalitative variable! variabel med 2 mulige udfald. Med et goodness of fit Goodness of fit testet bruges til at afgøre om en kvalitativ stikprøve er repræsentativ i forhold til fx. fordelingen i populationen.
Goodness of fit testet er et Chi i anden test for kun en variabel. Goodness of fit testet er en udvidelse af z-testet for en andel.
Fx. kan man teste om ens stikprøve er repræsentativ i forhold til kønsfordelingen i populationen, hvis denne er kendt. Klik her for at lære mere om goodness of fit tests! test kan vi teste kvalitative variable med 2 eller flere mulige udfald, man kan fx. undersøge om fordelingen af boligform i en stikprøve En stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver! kan antages at svare til fordelingen på regionsplan: 50% ejer, 20% andel og 30% leje.

Vi tester vha. Chi i anden Chi i anden tests (skrives også som Χ²-tests), kan bruges til at teste om der er sammenhæng mellem 2 kvalitative variable fx. køn og mobiltelefonmærke.
Chi i anden testet er en udvidelse af test af 2 andele, hvor vi kun kan teste 2 kvalitative binære variable (kun 2 udfald fx. mand/kvinde, iPhone/ikke iPhone).
I Chi i anden testet er nulhypotesen at de 2 variable er uafhængige (ingen sammenhæng), hvis vi forkaster nulhypotesen er der afhængighed (sammenhæng). Hvis der er en sammenhæng, skal denne sammenhæng beskrives ud fra observerede og forventede celleværdier (hvor der er store Chi celle bidrag), det kan fx. være vi finder at kvinder oftere har iPhone.
Vi tester ved hjælp af Χ²-fordelingen, der er en højreskæv fordeling, bestemt af antallet af frihedsgrader. Hypoteserne kunne generisk skrives som:

H₀: Der er uafhængighed mellem de 2 kvalitative variable
H₁: Der er afhængighed mellem de 2 kvalitative variable

Klik her for at lære mere om Χ²-tests! fordelingen. TeststørrelsenTeststørrelsen kan populært forklares, som forskellen mellem observeret i stikprøven og forventet under nulhypotesen.

Teststørrelsen er et udtryk for forskellen mellem fx. gennemsnit, andel eller antal i stikprøven i forhold til påstanden i nulhypotesen H₀.
Teststørrelsen korrigerer for stikprøvestørrelse og standardafvigelse, men beregnes forskelligt afhængigt af hvilket test der udføres.
Testes fx. middelværdi μ eller eller hældning i lineær regression β, benyttes t-teststørrelsen
Testes andele kan fx. z-teststørrelsen benyttes
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, 176,32-210 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM
Ønskede at teste om middel højden i populationen, kunne antages at være 150 cm ud fra samme stikprøve ville vi få en meget positiv teststørrelse, 176,32-150 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM

Klik her for at lære mere om teststørrelser! vi finder, udtrykker forskellen mellem det vi observerer i stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
og det vi tester under nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests!.

Antag man simpelt tilfældigt har udtaget en stikprøve En stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver! på 150 boliger, der indeholder 60 ejer- 40 andels- og 50 lejeboliger.

Hvis vi vil undersøge om fordelingen af boligform i stikprøvenEn stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver!
, kan antages at følge regionsfordelingen som er 50% ejer, 20% andel og 30% leje, opstiller vi følgende hypoteser:

$$H_{0}:p_{ejer}=0{,}5\ p_{andel}=0{,}2\ p_{leje}=0{,}3$$ $$H_{1}:Fordelingen\ af\ boliger\ følger\ ikke\ samme\ fordeling\ som\ i\ regionen$$
Teststørrelsen findes som: $$χ^{2}=\sum_{j=1}^{k}\frac{(O-E)^{2}}{E}$$

Hvor O er observerede værdier, og E er forventede værdier (E stammer fra engelsk "expected"). k angiver antallet af mulige udfald for den kvalitative variabel.

For at beregne teststørrelsenTeststørrelsen kan populært forklares, som forskellen mellem observeret i stikprøven og forventet under nulhypotesen.

Teststørrelsen er et udtryk for forskellen mellem fx. gennemsnit, andel eller antal i stikprøven i forhold til påstanden i nulhypotesen H₀.
Teststørrelsen korrigerer for stikprøvestørrelse og standardafvigelse, men beregnes forskelligt afhængigt af hvilket test der udføres.
Testes fx. middelværdi μ eller eller hældning i lineær regression β, benyttes t-teststørrelsen
Testes andele kan fx. z-teststørrelsen benyttes
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, 176,32-210 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM
Ønskede at teste om middel højden i populationen, kunne antages at være 150 cm ud fra samme stikprøve ville vi få en meget positiv teststørrelse, 176,32-150 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM

Klik her for at lære mere om teststørrelser! bestemmer vi E, antallet af ejer, leje og andel vi ville forvente i en stikprøve En stikprøve, er et udsnit af populationen (den store mængde vi ønsker at udtale os om), hvis stikprøven afspejler populationen korrekt, siger vi stikprøven er repræsentativ.
Vi bruger stikprøver, da det er billigere end at undersøge hele populationen.
Hvis vi fx. ønsker at udtale os om danske mænds gennemsnitlige højde, kan vi udtage en stikprøve, hvor vi måler 100 mænds højde.
Stikprøven består så af de 100 målinger af højderne, populationen er så alle danske mænd.

Klik her for at lære mere om stikprøver! på netop 150 boliger, der perfekt repræsenterede regionen.

ejer: 0,5⋅150=75

andel: 0,2⋅150=30

leje: 0,3⋅150=45

Vi kan nu udregne teststørrelsenTeststørrelsen kan populært forklares, som forskellen mellem observeret i stikprøven og forventet under nulhypotesen.

Teststørrelsen er et udtryk for forskellen mellem fx. gennemsnit, andel eller antal i stikprøven i forhold til påstanden i nulhypotesen H₀.
Teststørrelsen korrigerer for stikprøvestørrelse og standardafvigelse, men beregnes forskelligt afhængigt af hvilket test der udføres.
Testes fx. middelværdi μ eller eller hældning i lineær regression β, benyttes t-teststørrelsen
Testes andele kan fx. z-teststørrelsen benyttes
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, 176,32-210 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM
Ønskede at teste om middel højden i populationen, kunne antages at være 150 cm ud fra samme stikprøve ville vi få en meget positiv teststørrelse, 176,32-150 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM

Klik her for at lære mere om teststørrelser! som:

$$χ^{2}=\frac{(60-75)^{2}}{75}+\frac{(40-30)^{2}}{30}+\frac{(50-45)^{2}}{45}=3+3\frac{1}{3}+\frac{5}{9}=6{,}8889$$

Vi sammenligner med chi i anden fordelingen med k-1=3-1=2 frihedsgrader $χ^{2}$, den kritiske værdi bliver 5,9915 hvilket giver p-værdien 0,0319, illustreret ved den gule hale i figuren nedenfor. Da teststørrelsen 6,89 er større end den kritiske værdi 5,99, får vi en p-værdi, der er mindre end 5% signifikansniveauet. Vi tester her på 5% signifikansniveau, dvs. 100%-5%=95% konfidensniveau. Vi vælger 5% signifikansniveau, når vi ikke har signifikans- eller konfidensniveauet, givet i opgaven. Vi forkaster nulhypotesen og konkluderer, fordelingen af boligtyper i stikprøven, er ikke identisk med fordelingen i regionen.

I Freestat tastes input i de hvide felter, hvilket resulterer i følgende resultat:

Forudsætning

En forudsætning for at goodness of fit Goodness of fit testet bruges til at afgøre om en kvalitativ stikprøve er repræsentativ i forhold til fx. fordelingen i populationen.
Goodness of fit testet er et Chi i anden test for kun en variabel. Goodness of fit testet er en udvidelse af z-testet for en andel.
Fx. kan man teste om ens stikprøve er repræsentativ i forhold til kønsfordelingen i populationen, hvis denne er kendt.

Klik her for at lære mere om goodness of fit tests! testet er tilstrækkeligt præcist, er at de forventede værdier E er tilstrækkeligt store. Der er mange forskellige tolkninger, af størrelsen af E cellerne. Nogle nævner celleværdier skal være større end 3 andre 5, det bør under alle omstændigheder nævnes om forudsætningen synes opfyldt. Hvis de forventede værdier er meget små, kan man sammenlægge kategorier, der vil så være en afvejning med detaljegraden af analysen. Hvis man sammenlægger, bør man gøre dette, så det analytisk giver mening.

I eksemplet med boligtyper, havde vi forventede værdier E på hhv. 75, 30 og 45, her var forudsætningen altså opfyldt.

Chi i anden test

Klik her for hente datasættet til videoen ovenfor

Vi kan analysere kvalitative variable med 2 mulige udfald vha. test af 2 andele. Chi i anden testet er en udvidelse af test af 2 andele. Med chi i anden testet kan man sammenligne kvalitative variable med 2 eller flere mulige udfald. Vi kan benytte chi i anden testet til at undersøge om der er en sammenhæng mellem 2 inddelingskriterier som fx. køn og bestået/ikke bestået, køn og karakter, aldersgruppe og karakter.

Antag et forsikringsselskab har indsamlet data for kunders skadesanmeldelser fordelt på øst og vest for Storebælt. Forsikringsselskabet ønsker at undersøge om der er forskel i andelen af kunder der anmelder skader i Øst- og Vestdanmark. Følgende data er angivet:

Observeret	Ingen skader anmeldt	1 eller flere skader	Total
Østdanmark	300	300	600
Vestdanmark	250	150	400
Total	550	450	1000

Tabel 17.1: Observerede skadesanmeldelser hos et forsikringsselskab, fordelt på Øst- og Vestdanmark: antal kunder uden anmeldte skader, med mindst én anmeldt skade og totaler.
Kilde: Egen tilvirkning.

Vi kan teste om der er forskel på om der er forskel på andelen af anmeldte skader i Øst- og Vestdanmark vha. chi i anden testet. Vi har følgende hypoteser:

$$H_{0}:Der\ er\ uafhængighed\ mellem\ række-\ og\ søjlekriterierne$$ $$H_{1}:Der\ er\ afhængighed\ mellem\ række-\ og\ søjlekriterierne$$
Eller mere præcist i dette tilfælde
$$H_{0}:Der\ er\ uafhængighed\ mellem\ landsdel\ og\ skadesanmeldelse$$ $$H_{1}:Der\ er\ afhængighed\ mellem\ landsdel\ og\ skadesanmeldelse$$

Hvis nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! forkastes, påvirker den landsdel, kunden kommer fra, altså andelen af anmeldte skader.

Samme metode bruges til at teste, om en ML-models beslutninger, fx kreditgodkendelse, er statistisk uafhængige af beskyttede karakteristika som køn eller etnicitet – en central teknik i fairness- og bias-audits af algoritmiske modeller i finanssektoren.

Uafhængighed

Definitionen af uafhængighedAfhængighed betyder sammenhæng og bruges i forbindelse med Chi i anden tests.
Hvis der er afhængighed mellem 2 kvalitative fx køn og mobiltelefonmærke, betyder det, at der er sammenhæng mellem køn og mobiltelefonmærke.
Mænd og kvinder benytter altså forskellige mobiltelefonmærker. Er der uafhængighed mellem køn og mobiltelefonmærke, betyder det altså, at der ikke er forskel på hvilket mobiltelefonmærke mænd og kvinder foretrækker.

Klik her for at lære mere om afhængighed! mellem 2 hændelser A og B er at sandsynligheden for fælleshændelsen er lig med produktet af sandsynlighederneSandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor sandsynligt et udfald er — fx P(6) = 1/6 for en terning.
ChatGPT gør det samme, bare med alle ord i sproget som mulige udfald i stedet for terningesider.

Klik her for at lære mere i kapitel 16! for enkelthændelserne som formel skriver vi:

$$P(A∩B)=P(A)⋅P(B)$$
Vores hændelse A kan fx. være kunden stammer fra Østdanmark, og hændelse B at kunden ikke har anmeldt skader. Vi får da følgende ligning:
$P(Østdanmark\cap 0\ skader)=P(Østdanmark)\cdot P(0\ skader)$ Vi kan omskrive dette til:

$$P(Østdanmark∩0 skader)=P(Østdanmark)⋅P(0 skader)⇔$$ $$\frac{300}{1000}=\frac{600}{1000}⋅\frac{550}{1000}⇔$$ $$1000⋅\frac{300}{1000}=1000⋅\frac{600⋅550}{1000⋅1000}⇔$$ $$300=\frac{600⋅550}{1000}$$ Her er venstresiden i ligningen jo den observerede celleværdi. Hvis der er uafhængighed under nulhypotesen, vil vi forvente at den observerede værdi altså venstresiden 300, er lig med højresiden, som vi kalder den forventede værdi. Hvis der er perfekt uafhængighed mellem landsdel og skadesanmeldelse, ville vi altså i hver celle forvente værdien:
$$\frac{rækkesum⋅søjlesum}{totalsum}$$ Vi får derfor følgende matrice.

Forventet	Ingen skader anmeldt	1 eller flere skader	Total
Østdanmark	$$\frac{rækkesum⋅søjlesum}{totalsum}=$$ $$\frac{600⋅550}{1000}=330$$	$$\frac{rækkesum⋅søjlesum}{totalsum}=$$ $$\frac{600⋅450}{1000}=270$$	600
Vestdanmark	$$\frac{rækkesum⋅søjlesum}{totalsum}=$$ $$\frac{400⋅550}{1000}=220$$	$$\frac{rækkesum⋅søjlesum}{totalsum}=$$ $$\frac{400⋅450}{1000}=180$$	400
Total	550	450	1000

Tabel 17.2: Forventede skadesanmeldelser under nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! om uafhængighedAfhængighed betyder sammenhæng og bruges i forbindelse med Chi i anden tests.
Hvis der er afhængighed mellem 2 kvalitative fx køn og mobiltelefonmærke, betyder det, at der er sammenhæng mellem køn og mobiltelefonmærke.
Mænd og kvinder benytter altså forskellige mobiltelefonmærker. Er der uafhængighed mellem køn og mobiltelefonmærke, betyder det altså, at der ikke er forskel på hvilket mobiltelefonmærke mænd og kvinder foretrækker.

Klik her for at lære mere om afhængighed! mellem landsdel (Øst/Vest) og skadesanmeldelse, beregnet som (rækkesum·søjlesum)/totalsum for hver celle.
Kilde: Egen tilvirkning.

Vi kan nu beregne chi i anden cellebidragene med samme formel som for goodness of fit testet: $$\frac{(O-E)^{2}}{E}$$

Chi i anden celle bidrag	Ingen skader anmeldt	1 eller flere skader	Total
Østdanmark	$$\frac{(300-330)^{2}}{330}=2{,}7272727$$	$$\frac{(300-270)^{2}}{270}=3{,}3333333$$
Vestdanmark	$$\frac{(250-220)^{2}}{220}=4{,}0909091$$	$$\frac{(150-180)^{2}}{180}=5$$
Total			15,15

Tabel 17.3: Chi i anden-bidrag for hver celle i Øst/Vest-eksemplet — kvadratet af differencen mellem observeret og forventet værdi, divideret med forventet værdi. Summen 15,15 er testets teststørrelseTeststørrelsen kan populært forklares, som forskellen mellem observeret i stikprøven og forventet under nulhypotesen.

Teststørrelsen er et udtryk for forskellen mellem fx. gennemsnit, andel eller antal i stikprøven i forhold til påstanden i nulhypotesen H₀.
Teststørrelsen korrigerer for stikprøvestørrelse og standardafvigelse, men beregnes forskelligt afhængigt af hvilket test der udføres.
Testes fx. middelværdi μ eller eller hældning i lineær regression β, benyttes t-teststørrelsen
Testes andele kan fx. z-teststørrelsen benyttes
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, 176,32-210 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM
Ønskede at teste om middel højden i populationen, kunne antages at være 150 cm ud fra samme stikprøve ville vi få en meget positiv teststørrelse, 176,32-150 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM

Klik her for at lære mere om teststørrelser!.
Kilde: Egen tilvirkning.

TeststørrelsenTeststørrelsen kan populært forklares, som forskellen mellem observeret i stikprøven og forventet under nulhypotesen.

Teststørrelsen er et udtryk for forskellen mellem fx. gennemsnit, andel eller antal i stikprøven i forhold til påstanden i nulhypotesen H₀.
Teststørrelsen korrigerer for stikprøvestørrelse og standardafvigelse, men beregnes forskelligt afhængigt af hvilket test der udføres.
Testes fx. middelværdi μ eller eller hældning i lineær regression β, benyttes t-teststørrelsen
Testes andele kan fx. z-teststørrelsen benyttes
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, 176,32-210 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM
Ønskede at teste om middel højden i populationen, kunne antages at være 150 cm ud fra samme stikprøve ville vi få en meget positiv teststørrelse, 176,32-150 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM

Klik her for at lære mere om teststørrelser! bliver 15,15, denne bruger vi til at beregne p-værdienp-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier! for testet af uafhængighedAfhængighed betyder sammenhæng og bruges i forbindelse med Chi i anden tests.
Hvis der er afhængighed mellem 2 kvalitative fx køn og mobiltelefonmærke, betyder det, at der er sammenhæng mellem køn og mobiltelefonmærke.
Mænd og kvinder benytter altså forskellige mobiltelefonmærker. Er der uafhængighed mellem køn og mobiltelefonmærke, betyder det altså, at der ikke er forskel på hvilket mobiltelefonmærke mænd og kvinder foretrækker.

Klik her for at lære mere om afhængighed!. Antallet af frihedsgraderFrihedsgrader angiver, løst formuleret uden detaljer, antallet af værdier, der frit kan variere i beregningen af teststørrelsen.
Antallet af frihedsgrader bestemmer udseendet af fordelingen, t-, F- og Χ²-fordelinger bestemmes ud fra antallet af frihedsgrader.
Antallet af frihedsgrader for t-fordelingen bestemmes ved antallet af observationer i stikprøven minus 1, når antal frihedsgrader stiger approximerer t-fordelingen standard normalfordelingen.
Antallet af frihedsgrader for Χ²-fordelingen bestemmes ved (række-kategorier minus en) gange (søjle-kategorier minus en), når antal frihedsgrader stiger approximerer Χ²-fordelingen normalfordelingen.

Klik her for at lære mere om frihedsgrader! for chi i anden fordelingen er antallet af rækkeinddelingskriterier Østdanmark og Vestdanmark minus 1, gange antallet af søjleinddelingskriterier 0 skader og flere end 0 skader minus 1, dvs.

$$(r-1)⋅(s-1)=(2-1)⋅(2-1)=1⋅1=1$$ Vi får p-værdien 0,000099, hvilket er klart mindre end signifikansniveauet på 5%, arealet er så lille vi ikke kan se det på figuren nedenfor. Vi forkaster altså nulhypotesen og konstaterer der er afhængighed mellem landsdel og anmeldte skader. Landsdelen som kunden stammer fra, påvirker altså antallet af anmeldte skader. Vi kan nu se om der er chi i anden bidrag, der er meget store og dermed bidrager stærkt til konklusionen om afhængighed. Der er ikke en voldsom forskel i størrelserne på chi i anden bidragene, men når vi ser på observeret mod forventet, ser vi at kun 150 fra Vestdanmark anmelder skader, hvor der var forventet 180. Denne tendens er modsat for Østdanmark. Vestdanmark anmelder altså færre skader end Østdanmark.

Ligesom for goodness of fit testetGoodness of fit testet bruges til at afgøre om en kvalitativ stikprøve er repræsentativ i forhold til fx. fordelingen i populationen.
Goodness of fit testet er et Chi i andet test for kun en variabel. Goodness of fit testet er en udvidelse af z-testet for en andel.
Fx. kan man teste om ens stikprøve er repræsentativ i forhold til kønsfordelingen i populationen, hvis denne er kendt.

Klik her for at lære mere om goodness of fit tests!, skal de forventede værdier have en vis størrelse for at vore konklusioner er præcise. Forudsætningen om forventede værdier større end 5 er opfyldt for alle celler.

Freestat output bliver

Anmeldte skader fordelt på regioner og antal skader

Vi antager nu der foreligger mere specifikke data for undersøgelsen omkring geografisk placering og skadesanmeldelse. Vi har finere inddeling på region og antal skader.

Observeret	0 skader	1 skade	2 eller flere skader	Total
Hovedstaden	150	125	50	325
Sjælland	150	100	25	275
Syddanmark	75	30	10	115
Midtjylland	75	40	10	125
Nordjylland	100	45	15	160
Total	550	340	110	1000

Tabel 17.4: Observerede skadesanmeldelser fordelt på fem danske regioner og antal skader (0, 1, 2 eller flere).
Kilde: Egen tilvirkning.

Vi kan teste om der er forskel på om der er forskel på andelen af anmeldte skader i Øst- og Vestdanmark vha. chi i anden testet. Vi har følgende hypoteser;
$$H_{0}:Der\ er\ uafhængighed\ mellem\ region\ og\ antalskader$$ $$H_{1}:Der\ er\ afhængighed\ mellem\ region\ og\ antalskader$$ Hvis nulhypotesen forkastes, påvirker den region, kunden kommer fra, altså antallet af anmeldte skader.
Vi beregner de forventede værdier efter den sædvanlige formel:
$$\frac{rækkesum⋅søjlesum}{totalsum}$$ Hvilket giver følgende matrix:

Forventet	0 skader	1 skade	2 eller flere skader	Total
Hovedstaden	178,75	110,5	35,75	325
Sjælland	151,25	93,5	30,25	275
Syddanmark	63,25	39,1	12,65	115
Midtjylland	68,75	42,5	13,75	125
Nordjylland	88	54,4	17,6	160
Total	550	340	110	1000

Tabel 17.5: Forventede skadesanmeldelser under nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! om uafhængighedAfhængighed betyder sammenhæng og bruges i forbindelse med Chi i anden tests.
Hvis der er afhængighed mellem 2 kvalitative fx køn og mobiltelefonmærke, betyder det, at der er sammenhæng mellem køn og mobiltelefonmærke.
Mænd og kvinder benytter altså forskellige mobiltelefonmærker. Er der uafhængighed mellem køn og mobiltelefonmærke, betyder det altså, at der ikke er forskel på hvilket mobiltelefonmærke mænd og kvinder foretrækker.

Klik her for at lære mere om afhængighed! mellem region og antal skader.
Kilde: Egen tilvirkning.

Vi kan nu beregne chi i anden cellebidragene med samme formel som for goodness of fit testetGoodness of fit testet bruges til at afgøre om en kvalitativ stikprøve er repræsentativ i forhold til fx. fordelingen i populationen.
Goodness of fit testet er et Chi i andet test for kun en variabel. Goodness of fit testet er en udvidelse af z-testet for en andel.
Fx. kan man teste om ens stikprøve er repræsentativ i forhold til kønsfordelingen i populationen, hvis denne er kendt.

Klik her for at lære mere om goodness of fit tests!:
$$\frac{(O-E)^{2}}{E}$$

Chi celle bidrag	0 skader	1 skade	2 eller flere skader	Total
Hovedstaden	4,6241259	1,9027149	5,6800699	12,2069107
Sjælland	0,0103306	0,4518717	0,911157	1,3733593
Syddanmark	2,1828063	2,1179028	0,5551383	4,8558475
Midtjylland	0,5681818	0,1470588	1,0227273	1,7379679
Nordjylland	1,6363636	1,6242647	0,3840909	3,6447193
Total	9,0218082	6,2438129	8,5531835	23,8188046

Tabel 17.6: Chi i anden-bidrag for hver celle i regionseksemplet. Summen 23,82 er testets teststørrelseTeststørrelsen kan populært forklares, som forskellen mellem observeret i stikprøven og forventet under nulhypotesen.

Teststørrelsen er et udtryk for forskellen mellem fx. gennemsnit, andel eller antal i stikprøven i forhold til påstanden i nulhypotesen H₀.
Teststørrelsen korrigerer for stikprøvestørrelse og standardafvigelse, men beregnes forskelligt afhængigt af hvilket test der udføres.
Testes fx. middelværdi μ eller eller hældning i lineær regression β, benyttes t-teststørrelsen
Testes andele kan fx. z-teststørrelsen benyttes
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, 176,32-210 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM
Ønskede at teste om middel højden i populationen, kunne antages at være 150 cm ud fra samme stikprøve ville vi få en meget positiv teststørrelse, 176,32-150 divideret med standardfejlen for middelværdien SEM

Klik her for at lære mere om teststørrelser!.
Kilde: Egen tilvirkning.

Vi får p-værdienp-værdien også kaldet signifikanssandsynligheden er et tal mellem 0 og 1, den angiver sandsynligheden for, hvis nulhypotesen er sand, at få en mere ekstrem teststørrelse, end den vi har fået i testet (teststørrelsen måler forskellen mellem fx. stikprøvegennemsnit og middelværdien antaget i nulhypotesen).
Jo lavere p-værdi, des mindre tror vi på nulhypotesen
Antag fx. at vi har en stikprøve af 100 mænds højde, med et gennemsnit på 176,32 cm.
Vi ønsker at teste om middel højden i populationen, kan antages at være 210 cm dvs.
H₀: μ=210
H₁: μ≠210
Vi vil her få en meget negativ teststørrelse, hvilket giver en mikroskopisk lille p-værdi.
Det vil være nærmest umuligt at få en mere ekstrem teststørrelse, hvis den sande middelhøjde er 210 cm.

Klik her for at lære mere om p-værdier! 0,002458, hvilket er klart mindre end signifikansniveauetSignifikansniveauet α typisk 1%, 5% eller 10%, fastsættes inden et test og sammenlignes med p-værdien.
Er p-værdien mindre end signifikansniveauet forkastes nulhypotesen, ellers ikke.
Signifikansniveauet angiver sandsynligheden for at forkaste en sand nulhypotese (en type 1 fejl også kaldet en falsk positiv)
Medicinal industrien arbejder ofte med 1% signifikansniveau, hvor et test kunne være:
H₀: Medicinen har ingen effekt
H₁: Medicinen har effekt
Med 1% signifikansniveau, begås en type 1 fejl kun i et ud af 100 tests.
En type 1 fejl vil her betyde, at man fejlagtigt konkluderer at et medicinal produkt uden effekt virker.
Signifikansniveauet kan bruges til at bestemme konfidensniveauet 1-α, der angiver sandsynligheden for korrekt ikke at forkaste en sand nulhypotese

Klik her for at lære mere om signifikansniveauet! på 5%. Vi forkaster nulhypotesenNulhypotesen H₀ er vores grundtro i et hypotesetest, vi har altid lighedstegn i nulhypotesen. Der skal stærke beviser til at forkaste nulhypotesen.
Eksempler på nulhypoteser er:
H₀: μ=45 (Middelværdien er 45)
H₀: μ≤45 (Middelværdien er højst 45)
H₀: μ≥45 (Middelværdien er mindst 45)

Klik her for at lære mere om hypotesetests! og konstaterer, der er afhængighed mellem region og antal anmeldte skader. Regionen som kunden stammer fra, påvirker altså antallet af anmeldte skader. Vi kan se, der er chi i anden bidrag, der er store for region Hovedstaden, disse bidrager kraftigt til konklusionen om afhængighed. Kunderne fra Hovedstaden anmelder flere skader end forventet, dermed er der færre kunder fra Hovedstaden end forventet, der ikke anmelder skader.

Forudsætningen om forventede værdier større end 5 er opfyldt for alle celler.

Quiz

Quiz Goodness of fit test Quiz Chi i anden test

Selvtest

Selvtest Chi i anden investeringsfonde med videoløsninger

Spørgsmål

Undervisningsministeriet har et ønske om at karaktererne på landsplan bør normaliseres omkring 7, hvor der er følgende procentvise vægt på hver karakter.

Karakter	Ønsket fordeling
02	10%
4	25%
7	30%
10	25%
12	10%

Tabel 17.7: Undervisningsministeriets ønskede karakterfordeling — den procentvise vægt på hver karakter, som statistikkarakterer på landsplan bør normaliseres omkring.
Kilde: Egen tilvirkning.

Der er intet krav til andelen af studerende der består, således drejer fordelingen sig udelukkende om bestået-karakterer.

Hent datasættet statkarakterer for stikprøven for statistikstuderende, betragt kun de beståede studerende, kan populationen antages at følge de generelle retningslinjer?

Karakter	Ønsket fordeling	Observeret antal	Frekvens
02	10%	9	0,2432
4	25%	6	0,1622
7	30%	5	0,1351
10	25%	12	0,3251
12	10%	5	0,1351

Tabel 17.8: Opgavens udgangspunkt — ønsket fordeling sammenholdt med observeret antal og frekvens for statistikstuderendes karakterer, til brug for goodness of fit-testet.
Kilde: Egen tilvirkning baseret på datasættet statkarakterer.xlsx.

Vi kan nu bestemme den forventede karakterfordeling hvis karaktererne følger den ønskede fordeling.

Vi starter med at se på de beståede 37 studerende, optæl fx. vha. =countif eller =tælhvis i excel for at bestemme antallet af studerende med de respektive karakterer.

Karakter	Ønsket fordeling	Observeret antal	Frekvens
02	10%	9	0,2432
4	25%	6	0,1622
7	30%	5	0,1351
10	25%	12	0,3251
12	10%	5	0,1351

Tabel 17.9: Løsningens optælling af de 37 beståede studerendes karakterer — observeret antal og frekvens for hver karakter, sammenholdt med den ønskede fordeling.
Kilde: Egen tilvirkning baseret på datasættet statkarakterer.xlsx.

Vi kan nu bestemme den forventede karakterfordeling hvis karaktererne følger den ønskede fordeling.

Karakter	Ønsket fordeling	Forventet antal	Chi i anden bidrag
02	10%	3,7	7,5919
4	25%	9,25	1,1419
7	30%	11,1	3,3523
10	25%	9,25	0,8176
12	10%	3,7	0,4568

Tabel 17.10: Forventet antal for hver karakter under den ønskede fordeling, med det tilhørende chi i anden-bidrag i sidste kolonne; bidragene summeres til testets teststørrelse (13,36).
Kilde: Egen tilvirkning baseret på datasættet statkarakterer.xlsx.

Bemærk forventede værdier er mindre end 5 men større end 3, der kan være problemer med præcisionen. Hvis man ønsker at sammenlægge kategorier giver det ikke mening at lægge 02 og 12 sammen, men gerne 02 og 4 eller 10 og 12. Summen af chi i anden bidrag giver teststørrelsen, dvs:

7,5919+1,1419+3,3523+0,8176+0,4568=13,3605

Hvilket fører til p-værdien 0,0096 illustreret ved den gule hale herunder, da p-værdien er mindre end 5% signifikansniveauet forkaster vi nulhypotesen, og konkluderer at statistikkarakterer på Finansøkonom ikke følger den ønskede fordeling. Vi kan ud fra chi i anden bidragene se hvilke karakterer der giver de største afvigelser. Store bidrag betyder store afvigelser mellem det observerede og ønskede. Det største bidrag 7,5919 stammer fra 02 karakteren, her er den observerede karakter 9, mens den forventede værdi er 3,7. Der er altså flere studerende, end forventet der får 02. Bemærk for at vi kan udtale os om populationen finansøkonomer, fordres at stikprøven er repræsentativ for finansøkonomer. Stikprøven er ikke udtaget simpelt tilfældigt, da der er tale om 2 bestemte klasser, det kan derfor diskuteres om stikprøven er afspejler populationen korrekt.

I 1912 forliste Titanic, vi har i filen oplysninger om passagererne. Har man har større chance for at overleve, hvis man er velhavende? Vi har ikke oplysninger om passagerernes formuer, men vi kan bruge oplysningerne om billetterne som en proxy for velstand. Variablen pclass angiver hvilken billet den pågældende passager havde, 1. klasse er dyrest. Variablen survived fortæller om en passager overlevede 1 eller døde 0. Data er i filen Titanic her.

Vi sorterer passagerer efter billet og om de har overlevet.

Observeret	Døde	Overlevende	Total
1. Klasse	123	200	323
2. Klasse	158	119	277
3. Klasse	528	181	709
Total	809	500	1309

Tabel 17.11: Observerede Titanic-passagerer fordelt på billetklasse og overlevelse.
Kilde: Egen tilvirkning baseret på det offentligt tilgængelige Titanic-passagerdatasæt.

Vi kan teste om der er billettype betyder noget for overlevelse. Vi får følgende hypoteser:

$$H_{0}:Der\ er\ uafhængighed\ mellem\ passagerklasse\ og\ overlevelse$$ $$H_{1}:Der\ er\ afhængighed\ mellem\ passagerklasse\ og\ overlevelse$$ Hvis nulhypotesen forkastes, betyder passagerklasse noget for overlevelsen

Vi beregner de forventede værdier: $$\frac{rækkesum⋅søjlesum}{totalsum}$$ Hvilket giver følgende matrix

Forventet	Døde	Overlevende	Total
1. Klasse	199,62	123,38	323
2. Klasse	171,19	105,81	277
3. Klasse	438,18	270,82	709
Total	809	500	1309

Tabel 17.12: Forventet antal døde/overlevende under nulhypotesen om uafhængighed mellem passagerklasse og overlevelse.
Kilde: Egen tilvirkning baseret på Titanic-datasættet.

Vi kan nu beregne chi i anden cellebidragene med samme formel som for goodness of fit testet: $$\frac{(O-E)^{2}}{E}$$

Chi celle bidrag	Døde	Overlevende	Total
1. Klasse	29,4111	47,5871	76,9982
2. Klasse	1,0169	1,6453	2,6622
3. Klasse	18,4105	29,7882	48,1987
Total	48,8385	79,0207	127,8592

Tabel 17.13: Chi i anden-bidrag for hver celle i Titanic-eksemplet. Summen 127,86 er testets teststørrelse.
Kilde: Egen tilvirkning baseret på Titanic-datasættet.

Teststørrelsen bliver 127,86, denne bruger vi til at beregne p-værdien for testet af uafhængighed. Antallet af frihedsgrader bliver

$$(r-1)⋅(s-1)=(3-1)⋅(2-1)=2⋅1=2$$ Vi får p-værdien 0, hvilket er klart mindre end signifikansniveauet på 5%. Vi forkaster nulhypotesen og konstaterer, der er afhængighed mellem passagerklasse og overlevelse.

Forudsætningen om forventede værdier større end 5 er opfyldt for alle celler.

Vi kan se at 200 1. klasses passagerer overlevede mod forventet 123,38 under nulhypotesen, hvilket giver et meget stort chi i anden bidrag. Omvendt overlevede kun 181 3. klasses passagerer mod 270,82 forventet under nulhypotesen. Der var altså væsentlig større chance for overlevelse hvis man er velhavende.

Vi ser på data for bankansatte i Bankdata filen. Er der sammenhæng mellem jobfunktion og køn?

Vi sorterer personalet efter jobfunktion og køn.

Observeret	Kvinde	Mand	Total
Administration	206	157	363
Sikkerhedspersonale	0	27	27
Ledelse	10	74	84
Total	216	258	474

Tabel 17.14: Observerede bankansatte fordelt på jobfunktion og køn.
Kilde: Egen tilvirkning baseret på Bankdata-filen.

Vi skal teste om der er sammenhæng mellem jobfunktion og køn.
$$H_{0}:Der\ er\ uafhængighed\ mellem\ jobfunktion\ og\ køn$$ $$H_{1}:Der\ er\ afhængighed\ mellem\ jobfunktion\ og\ køn$$ Hvis nulhypotesen forkastes har køn betydning for jobfunktion.

Vi beregner de forventede værdier:

Forventet	Kvinde	Mand	Total
Administration	165,42	197,58	363
Sikkerhedspersonale	12,3	14,7	27
Ledelse	38,28	45,72	84
Total	216	258	474

Tabel 17.15: Forventet antal under nulhypotesen om uafhængighed mellem jobfunktion og køn.
Kilde: Egen tilvirkning baseret på Bankdata-filen.

Vi kan nu beregne chi i anden cellebidragene med samme formel som for goodness of fit testet:
$$\frac{(O-E)^{2}}{E}$$

Chi celle bidrag	Kvinde	Mand	Total
Administration	9,9561	8,3354	18,2915
Sikkerhedspersonale	12,3038	10,3009	22,6047
Ledelse	20,8909	17,4901	38.381
Total	43,1508	36,1264	79,2772

Tabel 17.16: Chi i anden-bidrag for hver celle i jobfunktion/køn-eksemplet. Summen 79,28 er testets teststørrelse.
Kilde: Egen tilvirkning baseret på Bankdata-filen.

Teststørrelsen bliver 79,28, denne bruger vi til at beregne p-værdien for testet af uafhængighed. Antallet af frihedsgrader bliver:
$$(r-1)⋅(s-1)=(3-1)⋅(2-1)=2⋅1=2$$
Vi får en meget lille p-værdi afrundet til 0, hvilket er klart mindre end signifikansniveauet på 5%. Vi forkaster nulhypotesen og konstaterer, der er afhængighed mellem jobfunktion og køn.

Forudsætningen om forventede værdier større end 5 er opfyldt for alle celler.

Ud fra tabellerne ses at mænd er underrepræsenteret i administrationen og overrepræsenteret i sikkerhedspersonale og ledelse.

Vi ser fortsat på data for bankansatte i Bankdata filen. Er der sammenhæng mellem jobfunktion og minoritet? Minoritet er ikke-hvide.

Vi sorterer personalet efter jobfunktion og køn.

Observeret	Ikke-minoritet	Minoritet	Total
Administration	276	87	363
Sikkerhedspersonale	14	13	27
Ledelse	80	4	84
Total	370	104	474

Tabel 17.17: Observerede bankansatte fordelt på jobfunktion og minoritetsstatus.
Kilde: Egen tilvirkning baseret på Bankdata-filen.

Vi kan teste om minoritet betyder noget for jobfunktion. Vi får følgende hypoteser:
$$H_{0}:Der\ er\ uafhængighed\ mellem\ jobfunktion\ og\ minoritet$$ $$H_{1}:Der\ er\ afhængighed\ mellem\ jobfunktion\ og\ minoritet$$ Hvis nulhypotesen forkastes, betyder det, at det at tilhøre en minoritet, har betydning for jobfunktionen.

Vi beregner de forventede værdier: $$\frac{rækkesum⋅søjlesum}{totalsum}$$ Hvilket giver følgende matrix

Forventet	Ikke-minoritet	Minoritet	Total
Administration	283,35	79,65	363
Sikkerhedspersonale	21,08	5,92	27
Ledelse	65,57	18,43	84
Total	370	104	474

Tabel 17.18: Forventet antal under nulhypotesen om uafhængighed mellem jobfunktion og minoritetsstatus.
Kilde: Egen tilvirkning baseret på Bankdata-filen.

Vi kan nu beregne chi i anden cellebidragene med samme formel som for goodness of fit testet: $$\frac{(O-E)^{2}}{E}$$

Chi celle bidrag	Ikke-minoritet	Minoritet	Total
Administration	0,1909	0,6791	0,87
Sikkerhedspersonale	2,3756	8,4518	10,8274
Ledelse	3,1758	11,2985	14,4743
Total	5,7423	20,4294	26,1717

Tabel 17.19: Chi i anden-bidrag for hver celle i jobfunktion/minoritet-eksemplet. Summen 26,17 er testets teststørrelse.
Kilde: Egen tilvirkning baseret på Bankdata-filen.

Teststørrelsen bliver 26,17, denne bruger vi til at beregne p-værdien for testet af uafhængighed. Antallet af frihedsgrader bliver
$$(r-1)⋅(s-1)=(3-1)⋅(2-1)=2⋅1=2$$ Vi får en lille p-værdi på 0,000002, hvilket er klart mindre end signifikansniveauet på 5%. Vi forkaster nulhypotesen og konstaterer, der er afhængighed mellem jobfunktion og om man tilhører en minoritet.

Forudsætningen om forventede værdier større end 5 er opfyldt for alle celler.

Ud fra tabellerne ses at minoriteter er overrepræsenteret blandt administration og sikkerhedspersonale og underrepræsenteret i ledelsen.

17. Chi i anden tests

Goodness of fit test

Forudsætning

Chi i anden test

Uafhængighed

Anmeldte skader fordelt på regioner og antal skader

Quiz

Selvtest

Spørgsmål

Du har nu adgang